0,999...

0,999...

Representació gràfica de la infinitud dels seus decimals
Tipus	Nombre decimal periòdic
Propietats

En matemàtiques, el nombre 0,999… amb el 9 com un nombre decimal periòdic,^{[n. 1]} denota el nombre natural u. En altres paraules, les notacions «0,999…» i «1» representen el mateix nombre en el sistema de nombres reals. Les demostracions d'aquesta igualtat s'han formulat amb diversos graus de rigor matemàtic, tot depenent del mètode preferit per definir els nombres reals, les hipòtesis i suposicions de partida, el context històric i l'audiència d'objectiu.

Certs nombres reals es poden representar per més d'una cadena de dígits i aquest fet no és un cas que es limiti al sistema decimal. El mateix fenomen succeeix en totes les bases d'enters, i els matemàtics també han quantificat les formes per escriure 1 en bases no enteres. Aquest tampoc no és un fenomen únic de l'1: tots els nombres diferents de zero amb una representació decimal finita tenen un bessó periòdic pur acabat en xifres decimals iguals a 9, com 28,3287 i 28,3286999… Per a simplificar-ho, el decimal finit és gairebé sempre la representació preferida, contribuint a una mala interpretació el fet que sigui l'única representació. Fins i tot de manera més general, qualsevol sistema de numeració posicional conté una quantitat infinita de nombres amb representacions múltiples. Aquestes diverses identitats s'han aplicat d'aquesta manera per entendre més bé els patrons en les expansions decimals de fraccions i l'estructura d'un fractal simple, el conjunt de Cantor. També apareixen en la investigació ja clàssica de la infinitat del conjunt sencer dels nombres reals.

La igualtat ${\displaystyle 0,999...=1}$ ha estat acceptada durant molt de temps pels matemàtics professionals i s'ha ensenyat en els llibres de text. En les darreres dècades, els experts en l'ensenyament de matemàtiques han estudiat la percepció d'aquesta igualtat entre els estudiants, molts dels quals inicialment qüestionen o rebutgen aquesta igualtat. Molts es basen en una apel·lació a l'autoritat d'acord amb determinats llibres de text i professors, o per raonaments aritmètics com els de no acceptar que tots dos siguin iguals. Tanmateix, alguns sovint se senten prou molestos per buscar una altra justificació. El raonament dels estudiants per negar o afirmar la igualtat es basa típicament en un error —d'entre uns quants errors comuns—, provocat pel comportament contrari a la intuïció dels nombres reals. Per exemple, que cada nombre real té una expansió decimal única, que els nombres reals infinitesimals diferents de zero haurien d'existir, o que l'expansió de 0,999… finalment acaba.

Es poden construir sistemes de nombres que compleixin algunes d'aquestes intuïcions, i en alguns d'aquests sistemes la igualtat és falsa. Cal considerar que aquests sistemes de nombres són diferents del sistema de nombres reals estàndard que es fa servir en matemàtica elemental, i que ja s'ha comentat. En efecte, algunes construccions de nombres contenen nombres que són "infinitesimalment" propers a 1; generalment no estan relacionats amb 0,999…, però són d'interès considerable en anàlisi matemàtica.
Error de citació: Existeixen etiquetes <ref> pel grup «n.» però no s'ha trobat l'etiqueta <references group="n."/> corresponent.