Cullen-Zahl

Eine Cullen-Zahl ist eine Zahl der Form ${\displaystyle C_{n}=n\cdot 2^{n}+1}$. Mit diesen Zahlen hat sich Reverend James Cullen 1905 beschäftigt. Ihm fiel auf, dass außer ${\displaystyle C_{1}=3}$ alle Zahlen dieser Form bis ${\displaystyle C_{99}}$ zusammengesetzte Zahlen, also keine Primzahlen sind. Seine Unsicherheit bezüglich ${\displaystyle C_{53}}$ konnte von Allan J.C. Cunningham 1906 ausgeräumt werden, indem dieser den Teiler 5591 fand. Cunningham zeigte, dass alle ${\displaystyle C_{n}}$ bis ${\displaystyle n=200}$ zusammengesetzt sind, mit einer möglichen Ausnahme für ${\displaystyle n=141}$.

1958 bestätigte Raphael M. Robinson, dass ${\displaystyle C_{141}}$ eine Primzahl ist, und wies nach, dass mit Ausnahme von ${\displaystyle C_{1}}$ und ${\displaystyle C_{141}}$ alle Cullen-Zahlen von ${\displaystyle C_{1}}$ bis ${\displaystyle C_{1000}}$ zusammengesetzte Zahlen sind.

Wilfrid Keller hat 1984 gezeigt, dass ${\displaystyle C_{4713},C_{5795},C_{6611}}$ und ${\displaystyle C_{18\;\!496}}$ ebenfalls Primzahlen sind, aber alle anderen ${\displaystyle C_{n}}$ mit ${\displaystyle n\leq 30\;\!000}$ zusammengesetzte Cullen-Zahlen sind.

Momentan (Stand: November 2015) sind Cullen-Primzahlen ${\displaystyle C_{n}}$ für folgende ${\displaystyle n}$ bekannt:

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, … (Folge A005849 in OEIS)

Die bis dato größte bekannte Cullen-Primzahl ist somit ${\displaystyle C_{6\;\!679\;\!881}=6\;\!679\;\!881\cdot 2^{6\;\!679\;\!881}+1}$, sie hat 2 010 852 Stellen. Sie wurde am 25. Juli 2009 von einem anonymen japanischen Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid entdeckt.^[1][2]

Es ist bekannt, dass es keine weiteren primen Cullen-Zahlen bis ${\displaystyle n<13\;\!705\;\!481}$ gibt.^[3] Es wird aber vermutet, dass es unendlich viele Cullen-Primzahlen gibt. Es ist noch nicht bekannt, ob ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle C_{n}}$ gleichzeitig prim sein darf.^[4]

1. ↑ PrimeGrid’s Cullen Prime Search, 6679881 · 2^6679881 + 1. PrimeGrid, abgerufen am 2. November 2016. 
2. ↑ Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Cullen primes. Prime Pages, abgerufen am 26. April 2018. 
3. ↑ Weisstein, Eric W.: Cullen Number. MathWorld, abgerufen am 1. Mai 2016. 
4. ↑ Chris K.Caldwell: Cullen Prime. The Prime Glossary, abgerufen am 1. Mai 2016.