Helmholtz-Gleichung

Die Helmholtz-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung, die Hermann von Helmholtz im Rahmen einer Studie über Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden^[1] 1860 untersuchte, in einer Zeit, in der er sich mit heute sogenannten Helmholtz-Resonatoren befasste. Die Gleichung lautet:

${\displaystyle \Delta \varphi =\lambda \cdot \varphi }$

in einem Gebiet ${\displaystyle \Omega }$ mit vorgegebenen Randbedingungen auf dem Rand ${\displaystyle \partial \Omega }$. Darin ist ${\displaystyle \Delta }$ der Laplace-Operator, ${\displaystyle \varphi }$ die Lösungsfunktion (Eigenfunktion) und ${\displaystyle \lambda }$ der Eigenwert. Die Gleichung ist ein kontinuierliches Analogon zum diskreten Eigenwertproblem. In der Regel wird die Gleichung von unendlich vielen Eigenwerten und zugehörigen Eigenfunktionen gelöst. In der häufig auftretenden Form

${\displaystyle \Delta \varphi +\kappa ^{2}\cdot \varphi =0}$

beschreibt sie einen Schwingungsvorgang^[1][2] oder auch Wirbelströmungen, siehe Ebene Wellen in viskositätsfreien Fluiden.

Die Helmholtz-Gleichung ist eine homogene partielle Differentialgleichung (PDGL) zweiter Ordnung aus der Klasse der elliptischen PDGL. Sie ergibt sich z. B. aus der Wellengleichung nach Trennung der Variablen, siehe Reduktion von partiellen Differentialgleichungen auf die Helmholtz-Gleichung. Die Trennung der Variablen gelingt immer in Koordinatensystemen, deren Koordinatenflächen konfokale Quadriken oder deren degenerierten Formen sind, siehe Separation der Helmholtz-Gleichung. Im eindimensionalen Fall ${\displaystyle n=1}$ ist die Gleichung vom Typ einer gewöhnlichen Differentialgleichung.

Im Fall ${\displaystyle \lambda =0}$ entsteht die Laplace-Gleichung, die hier nur am Rand erwähnt wird.

1. ↑ ^{a b} Referenzfehler: Ungültiges <ref>-Tag; kein Text angegeben für Einzelnachweis mit dem Namen Helmholtz.
2. ↑ Referenzfehler: Ungültiges <ref>-Tag; kein Text angegeben für Einzelnachweis mit dem Namen Spektrum.