Hilbert-Matrix

Die Hilbert-Matrix der Ordnung ${\displaystyle n\geq 1}$ ist folgende quadratische, symmetrische, positiv definite Matrix:

${\displaystyle H_{n}={\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&\cdots &{\frac {1}{n}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&\cdots &{\frac {1}{n+1}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&\cdots &{\frac {1}{n+2}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {1}{n}}&{\frac {1}{n+1}}&{\frac {1}{n+2}}&\cdots &{\frac {1}{2n-1}}\end{pmatrix}}}$,

die einzelnen Komponenten sind also durch ${\displaystyle h_{ij}={\frac {1}{i+j-1}}}$ gegeben. Dem historischen Zugang entspricht die Darstellung mit Integral: ${\displaystyle h_{ij}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx}$.

Sie wurde vom deutschen Mathematiker David Hilbert 1894 im Zusammenhang mit der Theorie der Legendre-Polynome definiert. Da die Matrix positiv definit ist, existiert ihre Inverse, d. h. ein lineares Gleichungssystem mit diesen Koeffizienten ist eindeutig lösbar. Die Hilbert-Matrix bzw. das betreffende Gleichungssystem ist jedoch vergleichsweise schlecht konditioniert, und zwar umso schlechter, je größer ${\displaystyle n}$ ist. Die Konditionszahl wächst exponentiell mit ${\displaystyle n}$; die Konditionszahl von ${\displaystyle H_{3}}$ ist 526,16 (Frobeniusnorm), diejenige von ${\displaystyle H_{4}}$ 15.613,8. Das heißt, dass bei der Berechnung der Inversen (der Auflösung des Gleichungssystems) immer größere Zahlen auftreten, je größer ${\displaystyle n}$ ist. Daher ist die Hilbert-Matrix ein klassischer Testfall für Computer-Programme zur Inversion von Matrizen bzw. Auflösung linearer Gleichungssysteme, z. B. mit dem Gauß-Verfahren, LR-Zerlegung, Cholesky-Zerlegung usw. Alle Komponenten der inversen Matrix sind ganze Zahlen mit alternierenden Vorzeichen.

Die Komponenten der Inversen der Hilbert-Matrix können durch geschlossene Formeln direkt berechnet werden:

${\displaystyle (H_{n}^{-1})_{i,j}\ =\ {\frac {(-1)^{i+j}}{(i+j-1)}}\ {\frac {(n+i-1)!(n+j-1)!}{((i-1)!(j-1)!)^{2}(n-i)!(n-j)!}}}$,

was man auch durch Binomialkoeffizienten ausdrücken kann:

${\displaystyle (H_{n}^{-1})_{i,j}\ =\ (-1)^{i+j}(i+j-1){n+i-1 \choose n-j}{n+j-1 \choose n-i}{i+j-2 \choose i-1}^{2}}$.

Im Spezialfall ${\displaystyle i=j=1}$ reduziert sich das zu:

${\displaystyle (H_{n}^{-1})_{1,1}\ =\ n^{2}}$.

Dass die Inverse der Hilbert-Matrix exakt berechnet werden kann, ist besonders nützlich, wenn z. B. bei einem Test das Ergebnis der numerischen Inversion einer Hilbert-Matrix mit einer LR- oder Cholesky-Zerlegung, die naturgemäß durch Rundungsfehler beeinträchtigt ist, beurteilt werden soll.