Hilbert-ruimte

Hilbert-ruimte is 'n konsep wat Euklidiese ruimte veralgemeen. Hilbert-ruimte is vernoem na die Duitse wiskundige David Hilbert en brei die metodes van vektoralgebra en analise in die tweedimensionele Euklidiese vlak en driedimensionele Euklidiese ruimte na ruimtes van enige eindige of oneindige aantal dimensies. 'n Hilbert-ruimte is 'n abstrakte vektorruimte wat die struktuur van 'n inwendige produk besit wat die meet van lengtes en hoeke in die ruimte moontlik maak. Daarbenewens is Hilbert-ruimtes volledig, wat beteken dat enige arbitrêre oneindige reeks in die ruimte sy limiet in die ruimte het. Hierdie laaste vereiste laat die tegnieke van analise op die vektorruimte toe.

Hilbert-ruimtes kom natuurlik en gereeld in wiskunde, fisika en ingenieurswese voor, tipies as oneindig-dimensionele funksieruimtes. Die vroegste Hilbert-ruimtes is vanuit hierdie oogpunt in die eerste dekade van die 20ste eeu deur David Hilbert, Erhard Schmidt en Frigyes Riesz bestudeer. Hilbert-ruimtes is van kardinale belang in parsiële differensiaalvergelykings, kwantummeganika, Fourier-analise (wat toepassings op synanalisie en hitteoordrag insluit) en ergodiese teorie wat die wiskundige fondasie van termodinamika vorm. John von Neuman het die term "Hilbert-ruime" gemunt om na die teorie agter hierdie diverse toepassings te verwys. Die eenvoudigste voorbeelde van Hilbert-ruimtes is natuurlik die klassieke Euklidiese ruimtes, maar ander voorbeelde sluit in die ruimtes van vierkantintegreerbare funksies, reeksruimtes, Sobolev-ruimtes wat uit veralgemeende funksies bestaan, en Hardy-ruimtes van holomorfiese funksies.

Geometriese intuïsie speel 'n belangrike rol in menige aspekte van Hilbert-ruimte se teorie. Presiese analoë van Pythagoras se stelling en die parallelogramwet geld in Hilbert-ruimte. Op 'n dieper vlak speel die loodregte projeksie op 'n subruimte (die analoog van die eliminasie van die hoogte van 'n driehoek) 'n belangrike rol in optimeringsprobleme asook op ander aspekte van die teorie. 'n Element of punt in 'n Hilbert-ruimte kan uniek gespesifiseer word deur sy koördinate relatief tot 'n versameling koördinaatasse ('n ortonormale basis), in anaologie met Cartesiese koördinate in die vlak. Wanneer daardie versameling asse telbaar oneindig is, kan die Hilbert-ruimte gesien word in terme van oneindige reekse wat vierkantsummeerbaar is. Lineêre bewerkers op 'n Hilbert-ruimte is eenders konkrete voorwerpe: in goeie gevalle is hulle eenvoudig transofrmasies wat die ruimte met sekere faktore in wedersyds loodregte rigtings strek in 'n begrip wat presies gemaak word deur die studie van hul spektrum, genaamd spektrale analise.