Hipercub

Tesseracte
Diagrama Schlegel
Tipus	Polítop regular
Familia	Hipercub
Cel·les	8 (4.4.4)
Cares	24 {4}
Arestes	32
Vertex	16
Figura de vertex	(3.3.3)
Símbol de Schläfli	{4,3,3} {4,3}x{} {4}x{4} {4}x{}x{} {}x{}x{}x{}
Diagrama Coxeter-Dynkin
Grup de simetria	B₄, [3,3,4]
Doble	16-cel·les
Propietats	convex

En geometria, un tesseractis o hipercub és una figura formada per dos cubs desplaçats en un quart eix dimensional (anomenem al primer longitud, al segon alçada i al tercer profunditat).

Es compon de 8 cel·les cúbiques, 24 cares quadrades, 32 arestes i 16 vèrtexs,^[1] això tenint en compte el desenvolupament del polinomi $(2x+1)^{n}$ on el valor de n equival al nombre de dimensions (en aquest cas 4) i x és la llargada, l'alçada, l'amplitud, etc. de la figura polidimensional equilàter.

Aquest terme va ser adoptat per primer cop el 1888 pel matemàtic anglès Charles Howard Hinton en una obra anomenada A New Era of Thought, una espècie de manual que buscava entrenar la intuïció hiperespacial a través d'exercicis de visualització amb cubs de colors entorn de un hipercub imaginari.

Un hipercub es defineix com un cub desfasat en el temps, és a dir, cada instant de temps pel qual es mogué però tots ells junts. És evident que no podem veure un hipercub en la quarta dimensió, ja que només es veurien els punts que toquen el nostre univers, així que només veuríem un cub tridimensional.

No podem veure un hipercub perquè estem ubicats en tres dimensions, per la qual cosa només podem visualitzar el que seria la projecció d'un hipercub. És semblant a dos cubs enllaçats, amb tots els vèrtexs connectats per línies. Però en l'hipercub real de quatre dimensions totes les línies tindrien la mateixa longitud i formarien angles rectes.

↑ Gardner, Martin. «4. Hipercubos». A: Carnaval matemático (en castellà). Alianza Editorial, p. 71. ISBN 9788491811503 [Consulta: 26 gener 2022]. «Supongamos ahora que el cubo se desplaza una unidad de distancia en la dirección de un cuarto eje que forma ángulo recto con los otros tres. [...] Cada vértice del cubo vuelve a tener posiciones de salida y de llegada, por lo que el teseracto resultante tiene 2 × 8 = 16 vértices. Cada punto genera una línea, pero a estas 8 líneas hay que añadir las posiciones de salida y llegada de las 12 aristas [del cubo], obteniendo un total de 8 + 12 + 12 = 36 aristas para el hipercubo. Cada una de las 12 aristas del cubo engendra un cuadrado, pero a estos 12 cuadrados debemos añadir los seis que tenía el cubo antes de trasladarse y los seis que tiene el cubo después de hacerlo, totalizando 12 + 6 + 6 = 24 cuadrados sobre la superficie del teseracto.»

[1] Gardner, Martin. «4. Hipercubos». A: Carnaval matemático (en castellà). Alianza Editorial, p. 71. ISBN 9788491811503 [Consulta: 26 gener 2022]. «Supongamos ahora que el cubo se desplaza una unidad de distancia en la dirección de un cuarto eje que forma ángulo recto con los otros tres. [...] Cada vértice del cubo vuelve a tener posiciones de salida y de llegada, por lo que el teseracto resultante tiene 2 × 8 = 16 vértices. Cada punto genera una línea, pero a estas 8 líneas hay que añadir las posiciones de salida y llegada de las 12 aristas [del cubo], obteniendo un total de 8 + 12 + 12 = 36 aristas para el hipercubo. Cada una de las 12 aristas del cubo engendra un cuadrado, pero a estos 12 cuadrados debemos añadir los seis que tenía el cubo antes de trasladarse y los seis que tiene el cubo después de hacerlo, totalizando 12 + 6 + 6 = 24 cuadrados sobre la superficie del teseracto.»

[1]