Kunvarianco

En teorio de probabloj kaj statistiko, la kunvarianco inter du reelo-valoraj hazardaj variabloj X kaj Y, kun atendataj valoroj ${\displaystyle E(X)=\mu \ }$ kaj ${\displaystyle \ E(Y)=\nu \ }$, estas notita per ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)}$ (ankaŭ foje per ${\displaystyle \sigma _{XY}\ }$), kaj difinita tiel:

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\sigma _{XY}=\operatorname {E} [(X-\mu )(Y-\nu )]}$

kie E estas la atendata valoro.

Intuicie, kunvarianco estas la mezuro de kiom du variabloj varias kune. Tio estas ke la kunvarianco iĝas pli pozitiva por ĉiu paro de valoroj kiu diferenciĝas de iliaj meznombroj en la sama direkto, kaj iĝas pli negativa kun ĉiu paro de valoroj kiuj diferenciĝas de ilia meznombro en kontraŭaj direktoj. Tiamaniere, ju pli ofte ili diferenciĝas en la sama direkto, des pli pozitiva la kunvarianco, kaj ju pli ofte ili diferenciĝas en kontraŭaj direktoj, des pli negativa la kunvarianco.

La kunvarianco estas iam nomata kiel mezuro de "lineara dependeco" inter la du hazardaj variabloj. La frazo "lineara dependeco" ĉi tie signifas ne la samon kiel ĝi signifas en lineara algebro, vidu en lineara dependeco, kvankam ĉi tiuj signifoj iel interrilatas.

La unuo de mezuro de la kunvarianco cov(X, Y) estas tiuj de X multiplikitaj je tiuj de Y. Per kontrasto, la korelacio, kiu dependas de la kunvarianco, estas sendimensia mezuri de la lineara dependeco.

La difino pli supre estas ekvivalenta al la sekva formulo kiu estadas uzata en kalkuloj:

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\mu \nu }$.

Se X kaj Y estas sendependaj, tiam ilia kunvarianco estas nulo. Ĉi tio sekvas, ĉar en okazo de sendependeco:

${\displaystyle E(X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y)=\mu \nu \ ,}$ do ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=0\ .}$

La reo, tamen, ne estas ĝenerale vera: eblas ke X kaj Y estas ne sendependaj sed ilia kunvarianco estas nulo. Hazarda variablo, kies kunvarianco (kun certa alia hazarda variablo) estas nulo, estas nomata nekorelaciigita al la alia.

Se X kaj Y estas reelo-valoraj hazarda variablo kaj c estas konstanto ("konstanto", en ĉi tiu ĉirkaŭteksto, signifas ke ne hazarda), tiam jenaj faktoj sekvas de la difino de kunvarianco:

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,X)=\operatorname {var} (X)}$

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {cov} (Y,X)}$

${\displaystyle \operatorname {cov} (cX,Y)=c\,\operatorname {cov} (X,Y)}$

${\displaystyle \operatorname {cov} \left(\sum _{i}{X_{i}},\sum _{j}{Y_{j}}\right)=\sum _{i}{\sum _{j}{\operatorname {cov} \left(X_{i},Y_{j}\right)}}}$

Por kolumno-vektoro-valoraj hazardaj variabloj X kaj Y kun n kaj m skalaraj komponantoj respektive kaj kun respektivaj atendataj valoroj μ kaj ν, la kunvarianco estas difinita al esti la n×m matrico

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} [(X-\mu )(Y-\nu )^{\top }]}$

Por vektoro-valora hazarda variablo, cov(X, Y) kaj cov(Y, X) estas transponoj unu de la alia:

cov(X, Y) = cov(Y, X)^T