Mittelpunkt

Der Begriff Mittelpunkt steht in der Geometrie in engem Zusammenhang zur Punktsymmetrie:^[1]

• Ist eine Punktmenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ in der Ebene oder im Raum zu genau einem Punkt ${\displaystyle M}$ punktsymmetrisch, so nennt man ${\displaystyle M}$ den Mittelpunkt von ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$.

Beispiele mit Mittelpunkt:

1. Strecke
2. Kreis, Ellipse, Hyperbel
3. Quadrat, Rechteck, reguläres Polygon mit einer geraden Anzahl von Ecken
4. Quader, Kugel, Ellipsoid, Kegel
5. Torus

Quadriken, die einen Mittelpunkt besitzen, nennt man Mittelpunktsquadriken.^[2]

Beispiele ohne Mittelpunkt: Dreieck, reguläres Polygon mit einer ungeraden Zahl von Ecken, Parabel, Zylinder.

Beispiele mit mehreren Symmetriepunkten: ein paralleles Geradenpaar, ein Zylinder.
Punktmengen, die punktsymmetrisch zu wenigstens zwei Punkten sind, sind dann auch gegenüber wenigstens einer Verschiebung invariant, da die Hintereinanderausführung zweier Punktspiegelungen eine Parallelverschiebung (Translation) ist.

Der Begriff Mittelpunkt ist typisch für die affine Geometrie. Projektiv entspricht der Mittelpunkt einer Strecke zwei Punktepaaren in harmonischer Lage. Ein Kreis oder Ellipse hat projektiv keinen Mittelpunkt, denn ein nichtausgearteter Kegelschnitt ist projektiv zu jedem Punkt ${\displaystyle Z}$ nicht auf dem Kegelschnitt symmetrisch, d. h. es gibt eine zentrale Involution mit Zentrum ${\displaystyle Z}$, die den Kegelschnitt invariant lässt.

In der Physik nennt man den Schwerpunkt von Massen Massenmittelpunkt.

1. ↑ K. P. Grotemeyer: Analytische Geometrie. Sammlung Göschen, 1962, S. 113.
2. ↑ Grotemeyer, S. 113