Mohutnost

Mohutnost množiny (také kardinalita množiny) je pojmem teorie množin vyjadřující velikost, počet prvků u konečných, ale i nekonečných množin. Značí se většinou ${\displaystyle |M|\,\!}$, někdy též ${\displaystyle \mathrm {card} \,M}$. Pojem „kardinalita“ zdůrazňuje, že pro vyjádření mohutností lze použít kardinální čísla, což v nejběžnější axiomatizaci (ZFC) platí beze zbytku, zatímco v jiných (ZF) existují množiny, které nelze bijektivně zobrazit na žádné kardinální číslo.

Mnohá fakta, která jsou pro konečné množiny samozřejmá, u nekonečných množin neplatí. Například že může existovat bijekce mezi množinou ${\displaystyle M}$ a množinou ${\displaystyle M\cup \{a\}}$ o jeden prvek větší, když ${\displaystyle a\not \in M}$. Například ${\displaystyle f(x)=x-1}$ je bijekce mezi přirozenými čísly (bez nuly) a přirozenými čísly s nulou.

Množiny prostě zobrazitelné do přirozených čísel se nazývají spočetné. Spočetné jsou mnohé množiny „menší“ než přirozená čísla, např. množina všech prvočísel. Stejně tak i mnohé množiny „mnohem větší“, jako celá čísla, racionální čísla, algebraická čísla, n-tice racionálních čísel, a dokonce množina všech konečných posloupností (nejrůznějších délek) přirozených čísel, nebo analogicky množina všech slov nad konečnou či spočetnou formální abecedou.

Proto je při studiu nekonečných množin nutné oprostit se od všech předpokladů kromě těch, které se dají exaktně dokázat. V naivní i axiomatické teorii množin jsou dokazatelné např. tyto dvě věty:

• Cantorova věta: U žádné množiny ${\displaystyle A}$ neexistuje bijektivní (dokonce ani prosté) zobrazení ${\displaystyle f}$ z ${\displaystyle \mathbb {P} (A)}$ do ${\displaystyle A}$, tj. takové, které by každé podmnožině ${\displaystyle B\subseteq A}$ přiřadilo prvek (pokaždé jiný) ${\displaystyle f(B)\in A}$. Jinými slovy, každá množina, konečná i nekonečná, má významně více podmnožin, než kolik má prvků. Důsledkem je, že množina reálných čísel je nespočetná.

• Cantorova–Bernsteinova věta: Existuje-li prosté zobrazení z množiny ${\displaystyle A}$ do ${\displaystyle B}$ a též nějaké prosté zobrazení z ${\displaystyle B}$ do ${\displaystyle A}$, pak mezi ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$ existuje bijekce.

V axiomatické teorie množin se pak pro porovnávání velikostí množin zavádí pojem kardinální číslo. Přijetí dodatečného axiomu, axiomu výběru (jenž je ekvivalentní s principem dobrého uspořádání) značně zpřehledňuje porovnávání velikostí množin, protože pak pro každou množinu existuje právě jedno kardinální číslo, s nímž má stejnou mohutnost. Toto číslo se nazývá kardinalita.