Oktonion

V matematice se pojmem oktoniony označuje rozšíření kvaternionů. Tvoří osmidimenzionální algebru nad reálnými čísly a je neasociativní. Je to nejstarší známý příklad neasociativního okruhu.

Oktoniony tvoří poslední, a tudíž nejobecnější typ tzv. normovaných algeber s dělením (též nazývané Hurwitzovy algebry). Je překvapivé, že existují právě jen čtyři takové algebry: reálná čísla, komplexní čísla, kvaterniony a oktoniony. Principiální rozdíl mezi vektorovými prostory a Hurwitzovými algebrami spočívá právě v operaci dělení: zatímco u vektorů operaci dělení dvou vektorů vůbec nezavádíme (neexistuje), u normovaných algeber s dělením (vzájemně jednoznačná a invertibilní) operace dělení existuje. Hurwitzovy algebry však existují jen ve čtyřech výlučných dimenzích: 1, 2, 4, 8. Dimenze 8 má tedy určité unikátní vlastnosti, dané unikátními vlastnostmi oktonionů. Zatímco reálná čísla, komplexní čísla a kvaterniony mají těsný vztah k regulárním Lieovým grupám typu A, B, C, D, oktoniony mají těsný vztah k tzv. výlučným Lieovým grupám typu G2, F4, E6, E7, E8. Řada teoretických fyziků proto oprávněně usuzuje též na hlubokou roli oktonionů ve fyzice, zejména částicové.^[1]

Zřejmě kvůli neasociativnosti, která je zdánlivě „nefyzikální“, jsou oktoniony dosud méně známé i používané než kvaterniony.

Mírou narušení komutativního a asociativního zákona jsou u oktonionů veličiny zvané komutátor a asociátor.