Ordonombro

En matematika aroteorio, la ordonombroj estas nombrosistemo kiu vastigas la sistemon de naturaj nombroj al senfine grandaj nombroj.

Notindas, ke ekzistas du malsamaj vastigoj de la naturaj nombroj al senfine grandaj nombroj:

Se oni rigardas naturajn nombrojn en ilia funkcio kiel mezuriloj por grandeco de finiaj aroj, tiam la vastigo al senfinaj aroj donas la kvantonombrojn. Se, aliflanke, oni rigardas la naturajn nombrojn en ilia funkcio kiel indikiloj de pozicioj en iu finia ordigita aro, tiam vastigo al senfinaj aroj donas la ordonombrojn.

Por povi senchave paroli pri pozicioj en senfina ordigita aro, oni tamen devas limigi sin al la bone ordigitaj aroj, kiuj estas la ordigitaj aroj, ĉe kiuj ĉiu subaro havas plej malgrandan elementon.

Oni povas rigardi la ordonombrojn kiel ordotipojn de bone ordigitaj aroj. Origine oni identigis la ordotipojn kun la ekvivalentklasoj de ordigitaj aroj, kun izomorfieco kiel ekvivalento-rilato. Ĉar en la moderna aksioma aroteorio tiaj ekvivalentklasoj ne povas esti aroj, oni nuntempe preferas identigi la ordonombrojn kun la herede transitivaj aroj.

Kiel por aliaj nombrospecoj, por ordonombroj estas difinitaj operacioj de adicio, obligo kaj potencigo. Subtraho kaj divido ne estas difineblaj por la ordonombroj.

Unue la koncepton de ordonombroj enkondukis Georg Cantor en 1897 por priskribi senfinajn vicojn kaj klasigi arojn laŭ teorio de ordo. Pli detalajn priskribojn de la sistemo donis Levy (1979) kaj Sacks (2003).

La finiaj ordonombroj (same kiel la finiaj kvantonombroj) estas naturaj nombroj (0, 1, 2, …), ĉar ĉiuj du ordoj de finia aro estas orde izomorfiaj. La plej malgranda senfina ordonombro ω estas identa kun plej malgranda senfina kvantonombro $\aleph _{0}$ . Tamen, senfinaj ordonombroj post ω havas subtilan distingon, kiun kvantonombroj ne havas. Ekzemple, dum ekzistas nur unu nombrebla senfina kvantonombro $\aleph _{0}$ , estas senfine multaj nombreblaj senfinaj ordonombroj:

ω, ω + 1, ω + 2, …, ω·2, ω·2 + 1, …, ω², …, ω³, …, ω^ω, …, ω^{ω^ω}, …, ε₀, ….

Malsimile al kvantonombroj kaj aliaj nombraj sistemoj, en ordonombroj adicio kaj obligo ne estas komutecaj. Ekzemple, 1 + ω estas ω, sed ne ω + 1, kaj, simile, 2·ω estas ω, sed ne ω·2. Povo de aro de ĉiuj nombreblaj ordonombroj estas la unua nenombrebla ordonombro ω₁, kiu estas identa kun kvantonombro $\aleph _{1}$ (la sekva post $\aleph _{0}$ ). Bone ordigitaj kvantonombroj estas identigataj kun komencaj ordonombroj, t.e. la plej malgrandaj ordonombroj kun tiu kvantonombro. La kvantonombro de ordonombro difinas ne-disĵetan surĵeton de la ordonombroj al la kvantonombroj.

Ĝenerale, ĉiu ordonombro α estas la ordotipo de la aro de ordonombroj rigore malpli grandaj ol α mem. Tiel ĉiu ordonombro povas esti reprezentita per aro de ĉiuj ordonombroj malpli grandaj ol ĝi mem. Oni povas klasigi la ordonombrojn jene: nulo, postanto-nombroj kaj limaj ordonombroj (de variaj samfinecoj). Se estas donita klaso de ordonombroj, oni povas difini la α-an membron de tiu ĉi klaso, t.e. oni povas numeri ilin. La klaso estas fermita kaj nebarita se ĝia indica funkcio estas kontinua kaj ne finiĝas. La Cantor-norma formo de ordonombro estas unika reprezentaĵo de iu ordonombro kiel finia sumo de ordonombraj potencoj de ω. Tamen, tiu ĉi notacio povas esti nekonsista pro tiaj memreferencaj reprezentaĵoj kiel $\epsilon _{0}=\omega ^{\epsilon _{0}}$ . Pli kaj pli grandaj ordonombroj povas esti difinitaj kaj ili iĝas pli kaj pli malfacile priskribeblaj.

Ĉiu ordonombro povas esti transformita al topologia spaco per orda topologio. Tiu topologio estu diskreta se kaj nur se la ordonombro estas identa kun nombrebla kardinalo, t.e. ne pli granda ol ω. Subaro ω + 1 estas malfermita en la orda topologio se kaj nur se ĝi estas kunfinia aŭ ne enhavas na ω.