Poisson-regressio

Poisson-regressio on yleistettyjen lineaaristen mallien erikoistapaus. Poisson-regressiota käytetään lukumääräaineistojen mallintamiseen. Kuten yleensäkin yleistettyjen lineaaristen mallien kohdalla, tässäkin tapauksessa oletetaan havaintojen riippumattomuus. (Pitkittäisaineistojen kohdalla riippuvuus huomioidaan käyttämällä marginaalimalleja, yleistettyjä lineaarisia sekamalleja tai transitiomalleja.)

Yleistettyjen lineaaristen mallien toinen oletus riippumattomuuden lisäksi on, että Y_i:den jakauma kuuluu eksponentiaaliseen perheeseen. Yleistettyjen lineaaristen mallien tapauksessa jakauma kuuluu eksponentiaalisen perheeseen, jos jakauma voidaan kirjoittaa muodossa

${\displaystyle f_{Y}(y_{i};\theta _{i},\phi )=\exp {\left({\frac {y_{i}\theta _{i}-a(\theta _{i})}{\phi }}+b(y_{i},\phi )\right)}\,\!}$ ,jossa Ф on skaalaparametri, θ on kanooninen lokaatio ja a() , b() ovat jakaumaspesifejä funktioita.

Poisson-jakauma voidaan kirjoittaa muodossa

${\displaystyle f_{Y}(y_{i};\mu _{i})={\frac {\exp {(\mu _{i})}\mu _{i}^{y_{i}}}{y_{i}!}}=\exp((y_{i})log(\mu _{i})-\exp(log(\mu _{i}))-log(y_{i}!))\,\!}$

Nyt

${\displaystyle \theta _{i}=log(\mu _{i}),\phi =1,a(\theta _{i})=\exp(\theta _{i})\,\!}$.

Viimeisintä voidaan käyttää poisson-jakauman odotusarvon ja varianssin määrittämiseen. (Odotusarvo sekä varianssi ovat µ_i.) Poisson-jakauma siis kuuluu eksponentiaaliseen perheeseen.

Systemaattiseksi osaksi yleistetyissä lineaarisissa malleissa sanotaan osaa

${\displaystyle {\boldsymbol {\eta _{i}}}=\beta _{1}x_{i1}+...+\beta _{p}x_{ip}\,\!}$.

Linkkifunktio linkittää systemaattisen osan vasteen odotusarvoon

${\displaystyle \operatorname {g} ({\boldsymbol {\mu _{i}}})={\boldsymbol {\eta _{i}}}=\beta _{1}x_{i1}+...+\beta _{p}x_{ip}\,\!}$.

Poisson-regressiossa linkkifunktio on g(µ_i) = log(µ_i). Tämän vuoksi estimoitua regressio-kerrointa β_i voidaan tulkita poisson-regressiossa seuraavasti. (Olettaen, että interaktioita ei ole.) Verrattaessa kahta yksilöä, jotka poikkeavat vain tarkasteltavan muuttujan suhteen yhdellä yksiköllä, odotettu vasteen lukumäärä muuttuu exp(β_i)-kertaiseksi.