Potenzgerade

Unter der Potenzgeraden (Potenzlinie, Chordale) zweier Kreise versteht man den geometrischen Ort (die Menge) aller Punkte, deren Potenz in Bezug auf die beiden Kreise übereinstimmt. Sind die Kreise ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$ durch ihre Mittelpunkte ${\displaystyle M_{1}}$ und ${\displaystyle M_{2}}$ sowie ihre Radien ${\displaystyle r_{1}}$ und ${\displaystyle r_{2}}$ gegeben, so sind die Potenzen eines Punktes ${\displaystyle P}$ bezgl. der beiden Kreise

${\displaystyle \Pi _{1}(P)=|PM_{1}|^{2}-r_{1}^{2},\qquad \Pi _{2}(P)=|PM_{2}|^{2}-r_{2}^{2}}$

Ein Punkt ${\displaystyle P}$ gehört zur Potenzgerade ${\displaystyle g_{12}}$, wenn

${\displaystyle \Pi _{1}(P)=\Pi _{2}(P)\ }$ gilt.

Die Potenzgerade ist nur definiert, wenn die gegebenen Kreise nicht konzentrisch sind, also keinen übereinstimmenden Mittelpunkt haben. Sind beide Radien gleich oder sogar 0, so ist die Potenzgerade die Mittelsenkrechte der Punkte ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$.

Potenzgeraden spielen bei Kreisbüscheln eine wichtige Rolle: Ein Kreisbüschel ist eine Schar von Kreisen mit einer gemeinsamen Potenzgerade.^[1]

Bezeichnungen:
J. Steiner nannte die Potenzgerade Linie der gleichen Potenzen.^[2]
J.V. Poncelet verwandte chorde ideale.^[3]
J. Plücker führte die Bezeichnung Chordale ein.^[4]
M. Chasles bezeichnet sie als axe radical, was auch im Englischen (radical axis) üblich ist.^[5]
O. Hesse nennt die Potenzgerade gemeinschaftliche Sekante, auch in dem Fall, dass die beiden Kreise keine (reellen) Punkte gemeinsam haben.^[6]

1. ↑ G. Aumann: Kreisgeometrie, S. 45
2. ↑ Jakob Steiner: Einige geometrische Betrachtungen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 1, 1826, S. 165
3. ↑ Ph. Fischer: Lehrbuch der analytische Geometrie, Darmstadt 1851, Verlag Ernst Kern, p. 67
4. ↑ H. Schwarz: Die Elemente der analytischen Geometrie der Ebene, Verlag H. W. Schmidt, Halle, 1858, S. 218
5. ↑ Michel Chasles, C. H. Schnuse: Die Grundlehren der neuern Geometrie, erster Theil, Verlag Leibrock, Braunschweig, 1856, S. 312
6. ↑ O. Hesse: Analytische Geometrie der geraden Linie, des Punktes und des Kreises in der Ebene, Teubner-Verlag, Leipzig, 1881, S. 195.