Preorde

Relacións binarias transitivas v c e
Simétrica Antisimétrica Conexa Ben fundada Ten joins Ten meets Reflexiva Irreflexiva Asimétrica Relación de equivalencia  Si  Non  Non  Non  Non  Non  Si  Non  Non Preorde (Cuasiorde)  Non  Non  Non  Non  Non  Non  Si  Non  Non Orde parcial  Non  Si  Non  Non  Non  Non  Si  Non  Non Preorde total  Non  Non  Si  Non  Non  Non  Si  Non  Non Orde total  Non  Si  Si  Non  Non  Non  Si  Non  Non Pre-Ben ordenada  Non  Non  Si  Si  Non  Non  Si  Non  Non Cuasi-Ben ordenada  Non  Non  Non  Si  Non  Non  Si  Non  Non Ben ordenada  Non  Si  Si  Si  Non  Non  Si  Non  Non Retícula  Non  Si  Non  Non  Si  Si  Si  Non  Non Semiretícula superior (join)  Non  Si  Non  Non  Si  Non  Si  Non  Non Semiretícula inferior (meet)  Non  Si  Non  Non  Non  Si  Si  Non  Non Orde estrita parcial  Non  Si  Non  Non  Non  Non  Non  Si  Si Orde estrita feble  Non  Si  Non  Non  Non  Non  Non  Si  Si Orde estrita total  Non  Si  Si  Non  Non  Non  Non  Si  Si Simétrica Antisimétrica Conexa Ben fundada Ten joins Ten meets Reflexiva Irreflexiva Asimétrica Definicións, para todo ${\displaystyle a,b}$ e ${\displaystyle S\neq \varnothing :}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ e }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ ou }}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{existe}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{existe}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{existe}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{non }}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{non }}bRa\end{aligned}}}$
Si indica que a columna da propiedade é sempre verdadeira no termo da fila (na esquerda de todo), mentres que  Non indica que a propiedade non está garantida en xeral (pode cumprirse ou non). Por exemplo, toda relación de equivalencia é simétrica, mais non necesariamente antisimétrica, está indicada por  Si na columna "Simétrica" e  Non na columna "Antisimétrica". Todas as definicións requiren tacitamente que a relación homoxénea ${\displaystyle R}$ sexa transitiva: para todo ${\displaystyle a,b,c,}$ se ${\displaystyle aRb}$ e ${\displaystyle bRc}$ entón ${\displaystyle aRc.}$ Algunha definición dalgún termo pode requerir propiedades adicionais non recollidas na táboa.

En matemáticas, especialmente na teoría da orde, unha preorde ou cuasiorde é unha relación binaria que é reflexiva e transitiva. O nome de preorde pretende suxerir que son ordes case parciais, mais non de todo, xa que non son necesariamente antisimétricas.

Un exemplo natural de preorde é a relación de división "x divide y" entre números enteiros, polinomios ou elementos dun anel conmutativo. Por exemplo, a relación de división é reflexiva pois cada número enteiro divídese a si mesmo. Mais a relación de división non é antisimétrica, porque ${\displaystyle 1}$ divide ${\displaystyle -1}$ e ${\displaystyle -1}$ divide ${\displaystyle 1}$. É a esta preorde á que "máximo" e "mínimo" se refiren nas frases "máximo común divisor" e "mínimo común múltiplo" (agás que, para os enteiros, o máximo común divisor tamén é o máximo para a orde natural dos enteiros).

As preordes están estreitamente relacionadas coas relacións de equivalencia e as ordes parciais (non estritas). Ambas as dúas son casos especiais dunha preorde: unha preorde antisimétrica é unha orde parcial e unha simétrica unha relación de equivalencia. A maiores, unha preorde nun conxunto ${\displaystyle X}$ pódese definir equivalentemente como unha relación de equivalencia sobre ${\displaystyle X}$, xunto cunha orde parcial sobre o conxunto da clase de equivalencia. Do mesmo xeito que as ordes parciais e as relacións de equivalencia, as preordes (nun conxunto non baleiro) nunca son asimétricas.

Como relación binaria, unha preorde pódese denotar como ${\displaystyle \,\lesssim \,}$ ou ${\displaystyle \,\leq \,}$. En palabras, cando ${\displaystyle a\lesssim b,}$ pódese dicir que b cobre a ou que a precede a b, ou que b redúcese en a. En ocasións, tamén se usa a notación ← ou →.