Vaihenopeus

Dispersio syvän veden pinnalla etenevissä painovoima-aalloissa. Kuvan punaiset neliöt ( ) etenevät vaihenopeudella, vihreät kiekot ( ) ryhmänopeudella. Tässä syvän veden tapauksessa vaihenopeus on kaksi kertaa niin suuri kuin ryhmänopeus. Jokainen punainen neliö kohtaa kaksi vihreää kiekkoa kulkiessaan kuvan vasemmasta laidasta oikeaan.
Aaltoryhmän takana näyttää muodostuvan uusia aaltoja, joiden amplitudi kasvaa, kunnes ne ovat kuvan keskellä, minkä jälkeen ne häviävät ennen saapumistaan kuvan oikeaan laitaan.
Veden pinnalla etenevissä painovoima-aalloissa vesipisaroiden nopeudet nopeudet ovat useimmiten paljon pienempiä kuin aallon vaihenopeus.

Aalto, jonka vaihenopeus on ryhmänopeuteen nähden vastakkaissuuntainen. Aaltoryhmä etenee oikealle, mutta yksittäiset aallonhuiput vasemmalle, joten ryhmänopeus on positiivinen, mutta vaihenopeus negatiivinen.^[1]

Vaihenopeus on aaltoliikkeessä se nopeus, jolla aallon vaihe etenee avaruudessa. Samalla se on nopeus, jolla kukin aallon taajuuskomponentti etenee. Sellaisella komponentilla jokainen aallon vaihe, esimerkiksi aallonhuippu, näyttää etenevän vaihenopeudella. Aallon vaihenopeus voidaan esittää sen aallonpituuden λ ja jaksonajan T avulla:

v_{\mathrm {p} }={\frac {\lambda }{T}}.

Yhtäpitävästi, käyttäen aallon kulmataajuutta, joka tarkoittaa vaihekulman $\omega$ muutosnopeutta aikayksikössä, ja aaltolukua $k$ , joka tarkoittaa vaiheulman muutosnopeutta matkan yksikköä kohti, vaihenopeus voidaan lausua muodossa

v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}.

^[2]

Tämän ymmärtämiseksi tarkastellaan yksinkertaista siniaaltoa, $A\cos {(kx-\omega t)}$ . Ajan t aikana aaltolähde on tuottanut $N={\frac {\omega }{2\pi }}t=ft$ värähdystä. Samassa ajassa t tämä N:n aallon rintama on edennyt lähteestä avaruuden halki matkan x niin, että tällä matkalla niitä on samat $N={\frac {k}{2\pi }}x$ kappaletta. Aallon etenemisnopeudeksi saadaan tästä $v={\frac {x}{t}}={\frac {\omega }{k}}$ . Aalto etenee siis sitä nopeammin mitä pidempiä ja useammin toistuvia avaruudessa leviävät aallot ovat.^[3]

Muodollisesti aallon vaihe on $\phi =kx-\omega t$ . Koska $\omega =-{\frac {d\phi }{dt}}$ ja $k=+{\frac {d\phi }{dx}}$ , vaihenopeus on $v={\frac {dx}{dt}}={\frac {\omega }{k}}$ .

↑ Jonathan Nemirovsky, Mikael C. Rechtsman, Mordevhai Segev: Negative radiation pressure and negative effective refractive index via dielectric birefringence. Optics Express, 9.4.2012, 20. vsk, nro 8, s. 8907–8914. PubMed:22513601 doi:10.1364/OE.20.008907 Bibcode:2012OExpr..20.8907N Artikkelin verkkoversio.
↑ Kaarle ja Riitta Kurki-Suonio: ”Energian eteneminen”, Aaltoliikkeestä dualismiin, s. 39–41. Limes, 2005. ISBN 951-745-210-1
↑ Phase, Group, and Signal Velocity Mathpages.com. Viitattu 25.3.2019.

[1] Jonathan Nemirovsky, Mikael C. Rechtsman, Mordevhai Segev: Negative radiation pressure and negative effective refractive index via dielectric birefringence. Optics Express, 9.4.2012, 20. vsk, nro 8, s. 8907–8914. PubMed:22513601 doi:10.1364/OE.20.008907 Bibcode:2012OExpr..20.8907N Artikkelin verkkoversio.

[KurkiSuonio39-2] Kaarle ja Riitta Kurki-Suonio: ”Energian eteneminen”, Aaltoliikkeestä dualismiin, s. 39–41. Limes, 2005. ISBN 951-745-210-1

[mathpages1-3] Phase, Group, and Signal Velocity Mathpages.com. Viitattu 25.3.2019.

[1]

[2]

[3]