Torus

'n Torus is 'n 3-D geometriese vorm wat deur die draai van 'n skyf met radius ${\displaystyle r}$ oor 'n sirkel met radius ${\displaystyle R}$ gevorm is. Indien ${\displaystyle R>r}$ is die torus 'n kringvormige buisie.

R > r:
Ringtorus

R = r:
Horingtorus

R < r:
Spiltorus

Onderste helfte en kruisafdelings van die drie klasse

'n Torus kan as volg parametries gedefinieer word:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}x(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\cos {\varphi }\\y(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\sin {\varphi }\\z(\theta ,\varphi )&=r\sin \theta \end{aligned}}}$

waar

${\displaystyle \theta ,\phi }$ is hoeke wat 'n volle sirkel maak, sodat hulle waardes begin en eindig by dieselfde punt,

${\displaystyle R}$ is die afstand vanaf die middelpunt van die buisie om die middelpunt van die torus,

${\displaystyle r}$ is die radius van die buisie.

${\displaystyle R}$ is bekend as die "grootradius" en ${\displaystyle r}$ is bekend as die "kleinradius".^[2] Die verhouding ${\displaystyle R}$ gedeel deur ${\displaystyle r}$ staan bekend as die aspekverhouding.

Daar is drie verskillende klasse van toruse afhangend van die drie moontlike aspekverhoudings tussen ${\displaystyle R}$ en ${\displaystyle r}$:

• ${\displaystyle R>r}$ beskryf die bekende torus met 'n gat deur die middel.
• ${\displaystyle R=r}$ beskryf die horingtorus, dit wil sê 'n torus met 'n nuldeursneegat.
• ${\displaystyle R<r}$ beskryf die self-sny spiltorus.
• Wanneer ${\displaystyle R=0}$ verander die torus in 'n sfeer.

Wanneer ${\displaystyle R>=r}$ is dit maklik om die oppervlak en volume van die torus met behulp van die swaartepuntstelling van Pappus te bereken:^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)=4\pi ^{2}Rr\\V&=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right)=2\pi ^{2}Rr^{2}\end{aligned}}}$

1. ↑ "Equations for the Standard Torus" (in Engels). Geom.uiuc.edu. 6 Julie 1995. Geargiveer vanaf die oorspronklike op 20 Mei 2019. Besoek op 21 Julie 2012.
2. ↑ "Torus". Spatial website ( doc.spatial.com) (in Engels). Spatial Corp. Geargiveer vanaf die oorspronklike op 29 Oktober 2019. Besoek op 16 November 2014.
3. ↑ Levy, Silvio. "15 Surfaces of Revolution. The Torus". Geometry Formulas and Facts (in Engels). The Geometry Center, University of Minnesota. Geargiveer vanaf die oorspronklike op 8 Julie 2019. Besoek op 12 Julie 2016.