Aksiom

Aksiom ili postulat prema definiciji u klasičnoj filozofiji, je tvrdnja (u matematici često prikazivana u simboličnom obliku) koja je evidentna ili dobro uspostavljena, te koja je prihvaćena bez kontroverzi ili pitanja. Tako, aksiom može biti korišten kao premisa ili početna tačka za dalje rezonovanje ili argumente, često u logici ili u matematici.^[1] Riječ dolazi iz grčkog jezika od axíōma (ἀξίωμα) 'ono što se smatra dostojnim ili sposobnim' ili 'ono što se odaje kao evidentno.'^[2][3]

Prema upotrebi u modernoj logici, aksiom je jednostavno premisa ili početna tačka rasuđivanja.^[4] Bez obzira da li je smisleno (i, ako je tako, šta to znači) za aksiom, ili bilo koju matematičku tvrdnju, da bude "tačna" je centralno pitanje u filozofiji matematike, pri čemu savremeni matematičari imaju različita mišljenja.^[5]

Prema upotrebi u matematici, pojam aksiom se koristi u dvije povezane ali različite cjeline: "logički aksiomi" i "ne-logički aksiomi". Logički aksiomi su obično tvrdnje za koje se smatra da su tačne unutar sistema logike koju definiraju (npr. (A i B) implicira A), dok nelogički aksiomi (npr. a + b = b + a) su zapravo suštinske tvrdnje o elementima domena određene matematičke teorije (kao što je aritmetika). Kada se koriste u drugom slučaju, "akiom", "postulat" i "pretpostavka" su pojmovi koji se naizmjenično koriste. Općenito, nelogički aksiom nije samoevidentirajuća istina, nego formalni logički iskaz korišten u zaključivanju izgradnje matematičke teorije. Kako savremeni matematičari priznaju višestruke, jednako "istinite" sisteme logike, precizno ista stvar mora biti rečena za logičke aksiome - oni oba definiraju i specifični su za određeni sistem logike koji je pozvan. Da bi se sistem znanja aksiomatizirao treba pokazati da njegove tvrdnje mogu biti izvedene iz malih, dobro razumljivih skupova rečenica (aksiomi). Postoji obično nekoliko načina za aksiomatiziranje datih matematičkih domena.

U oba smisla, aksiom je matematička tvrdnja koja služi kao početna tačka od koje se ostale tvrdnje mogu logično izvesti. Unutar sistema koji definišu, aksiomi (osim ako nisu suvišni) ne mogu biti izvedeni iz principa zaključivanja, niti su dokazivi matematičkim dokazima, jednostavno jer su početne tačke; nema ništa drugo iz čega prate logiku jer u suprotnom bi bili grupisani kao teoreme. Ipak, aksiom u jednom sistemu može biti teorema u drugom, i obratno.

1. ^ "A proposition that commends itself to general acceptance; a well-established or universally conceded principle; a maxim, rule, law" axiom, n., definition 1a. Oxford English Dictionary Online, pristupljeno 28. 4. 2012. Cf. Aristotle, Posterior Analytics I.2.72a18-b4.
2. ^ Cf. axiom, n., etymology. Oxford English Dictionary, pristupljeno 28. 4. 2012.
3. ^ Oxford American College Dictionary: "n. a statement or proposition that is regarded as being established, accepted, or self-evidently true. ORIGIN: late 15th cent.: ultimately from Greek axiōma 'what is thought fitting,' from axios 'worthy.' http://www.highbeam.com/doc/1O997-axiom.html^{[mrtav link]} Šablon:Subscription
4. ^ "A proposition (whether true or false)" axiom, n., definition 2. Oxford English Dictionary Online, pristupljeno 28. 4. 2012.
5. ^ Maddy, Penelope (juni 1988). "Believing the Axioms, I". Journal of Symbolic Logic. 53 (2): 481–511. doi:10.2307/2274520.