Rhif cymhlyg

Rhif cymhlyg yw'r rhif y gellir ei fynegi fel a + bi, lle mae a a b yn rhifau real, ac mae i yn ateb i'r hafaliad x² = −1. Gan nad oes unrhyw rif real yn bodloni'r hafaliad hwn, gelwir i yn "rhif dychmygol". Ar gyfer y rhif cymhlyg a + bi, gelwir a yn "rhan real", a gelwir b yn "rhan ddychmygol". Er gwaethaf yr ystyr arferol i'r gair "dychmygol", ystyrir rhifau cymhlyg yn y gwyddorau mathemategol yn "gwbwl real", fel rhifau real, ac maent yn sylfaenol mewn sawl agwedd o'r disgrifiad gwyddonol o'r byd naturiol.^[1][2]

Gellir diffinio'r system rhif cymhlyg fel estyniad algebraidd o'r rhifau real cyffredin trwy rif dychmygol i.^[3] Mae hyn yn golygu y gellir ychwanegu, tynnu a lluosi rhifau cymhlyg, fel polynomialau yn y newidyn i, gyda'r rheol i² = −1 wedi'i osod. At hynny, gellir rhannu rhifau cymhlyg hefyd gyda rhifau cymhlyg di-sero. Ar y cyfan, mae'r system rhif cymhlyg yn faes o fewn mathemateg.

Mae rhifau cymhlyg yn arwain at theorem sylfaenol algebra: mae gan bob hafaliad polynomial nad yw'n gyson â chyfernodau (neu 'gyd-berthynas'; coefficients) ateb cymhleth. Mae'r nodwedd hon yn wir am y rhifau cymhlyg, ond nid y rhifau real. Credir bod y mathemategydd Eidalaidd o'r 16g, Gerolamo Cardano, wedi cyflwyno rhifau cymhlyg yn ei ymdrechion i ddod o hyd i atebion i hafaliadau ciwbig.^[4]

Mewn geometreg, mae rhifau cymhlyg yn ymestyn y cysyniad o'r linell-rif un dimensiwn i'r plân gymhlyg dau ddimensiwn, trwy ddefnyddio'r echel lorweddol ar gyfer y rhan real a'r echelin fertigol ar gyfer y rhan ddychmygol. Gellir adnabod y rhif cymhlyg a + bi gyda'r pwynt (a, b) yn y plân gymhlyg.

Gellir dweud fod rhif cymhlyg y mae ei ran real yn sero yn rhif dychmygol llwyr; mae'r pwyntiau ar gyfer y rhifau hyn yn gorwedd ar echelin fertigol y plân gymhlyg. Mae rhif cymhlyg y mae ei ran ddychmygol yn sero yn gallu cael ei ystyried yn rhif go iawn; mae ei bwynt yn gorwedd ar echel lorweddol y plân gymhlyg. Gellir hefyd gynrychioli rhifau cymhlyg mewn ffurf pegynnol, sy'n cysylltu pob rhif cymhlyg gyda'i bellter o'r tarddiad (ei faint) a chydag ongl benodol a elwir yn "argiau (neu 'ymresymiad') y rhif cymhlyg" hwn.

Fel hyn, diffinnir rhif cymhlyg fel polynomial gyda chyfernodau go-iawn yn yr un amhenodol i, lle mae ei berthynas i² + 1 = 0 ar ei gyfer. Yn seiliedig ar y diffiniad hwn, gellir adio a lluosi rhifau cymhlyg, gan ddefnyddio'r adio a'r lluosi ar gyfer polynomialiaid. Mae'r berthynas i² + 1 = 0 yn cymell y cydraddoldebau i i^4k = 1, i^4k+1 = i, i^4k+2 = −1, aci^4k+3 = −i, sy'n dal yr holl gyfanrifau k; mae'r rhain yn caniatáu lleihau unrhyw polynomial sy'n deillio o adio a lluosi rhifau cymhlyg i bolynomial llinol yn i, ac eto o'r ffurf a + bi gyda chyfernodau go-iawn a, b.

1. ↑ Gweler: Nicolas Bourbaki, "1. Foundations of mathematics; logic; set theory", Elements of the history of mathematics, Springer, pp. 18–24.
2. ↑ Penrose, Roger (2016). The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe (arg. reprinted). Random House. tt. 72–73. ISBN 978-1-4464-1820-8. tud. 73: "complex numbers, as much as reals, and perhaps even more, find a unity with nature that is truly remarkable. It is as though Nature herself is as impressed by the scope and consistency of the complex-number system as we are ourselves, and has entrusted to these numbers the precise operations of her world at its minutest scales."
3. ↑ Nicolas Bourbaki (1988). "VIII.1". General topology. Springer-Verlag.
4. ↑ Burton (1995, p. 294)