Fermatprimtal

Et Fermatprimtal (opkaldt efter Pierre de Fermat) er et primtal af formen ${\displaystyle 2^{2^{m}}+1}$. Fermat bemærkede at ${\displaystyle 2^{2^{m}}+1}$ var et primtal for m lig med 0, 1, 2, 3 og 4. Han påstod derfor at det samme gjaldt for alle værdier af m. Men i 1732 viste Euler at det ikke er tilfældet: Med m=5 får vi at 2³²+1 er deleligt med 641. Med m=6 får vi 2⁶⁴+1; at dette tal er sammensat, eftervistes i 1854 af den danske matematiker Thomas Clausen der fandt at dets mindste primfaktor er 274 177.

Til dato er der ikke fundet flere værdier af m der gør ${\displaystyle 2^{2^{m}}+1}$ til et primtal, og det forekommer usandsynligt at der skulle eksistere nogen. I skrivende stund kendes der 277 specifikke værdier af m for hvilke det vides med sikkerhed at ${\displaystyle 2^{2^{m}}+1}$ er sammensat. Den mindste værdi af m for hvilken man ikke kender statussen af ${\displaystyle 2^{2^{m}}+1}$, er m=33.

Man kan let indse at hvis et tal af typen 2^k+1 skal være et primtal, så må k selv være en potens af 2, altså k=2^m. Thi hvis k havde en ulige divisor d forskellig fra 1, så ville 2^k+1 være et sammensat tal fordi det var deleligt med 2^k/d+1. Bemærk at hvis k er et ulige tal så er 2^k+1 deleligt med 2^k/k+1 = 3.