Topologiske rum er matematiske strukturer, hvor det har mening at tale om åbne og lukkede mængder og de begreber, der afhænger heraf; herunder bl.a. konvergens, sammenhængenhed og kontinuitet. Topologiske rum optræder i praktisk talt alle områder af moderne matematik og er et centralt forenende begreb. Den gren af matematikken, der studerer selve rummene kaldes topologi.