Abgeschlossene offene Menge

Im Teilgebiet Topologie der Mathematik ist eine abgeschlossene offene Menge (im Englischen clopen set, im Deutschen auch abgeschloffene Menge^[1]) eine Teilmenge eines topologischen Raums, die zugleich abgeschlossen und offen ist.

Dies erscheint auf den ersten Blick seltsam; doch ist zu bedenken, dass die Begriffe offen und abgeschlossen in der Topologie eine andere Bedeutung als in der Alltagssprache haben. Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist, was die Möglichkeit einer offenen Menge ergibt, deren Komplement ebenfalls offen ist, wodurch beide Mengen sowohl offen als auch geschlossen sind und daher abgeschlossen und offen sind. Analog ist eine Menge offen, wenn ihr Komplement abgeschlossen ist. Daraus folgt, dass eine Menge offen und abgeschlossen ist, wenn sowohl die Menge selbst als auch ihr Komplement abgeschlossen sind. Der Begriff der abgeschlossenen offenen Menge ist nicht zu verwechseln mit dem des halboffenen Intervalls.

1. ↑ Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2015, ISBN 978-3-662-45952-2, Zusammenhang und Trennung, doi:10.1007/978-3-662-45953-9_3.