Benutzer:Googolplexian1221/Kreiszahl

Die Kreiszahl, auch Ludolphsche (Ludolfsche) Zahl^[1] oder Archimedes-Konstante^[2], oder einfach Pi, abgekürzt mit dem griechischen Kleinbuchstaben ${\displaystyle \pi }$ (Pi), ist eine mathematische Konstante, die das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser angibt. Dieses Verhältnis ist für alle Kreise gleich, unabhängig von ihrer Größe. Die dezimale Darstellung der Kreiszahl beträgt mit den ersten fünfzig Nachkommastellen

${\displaystyle \pi =3{,}14159\,26535\,89793\,23846\,26433\,83279\,50288\,41971\,69399\,37510\,\dots }$

wobei in der Praxis oft nur zwei Nachkommastellen verwendet werden (3,14), deren Genauigkeit für einfache Anwendungen ausreicht. Dank umfassender Forschung ist seit den 1760er Jahre bekannt, dass ${\displaystyle \pi }$ eine irrationale Zahl ist, also nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann. Dies geht einher mit der Vorstellung, dass sich der Kreis, aufgefasst als ein „Vieleck mit unendlich vielen Ecken“, einer einfachen Berechnung entzieht. Eine Konsequenz ist, dass es nicht möglich ist, ${\displaystyle \pi }$ durch die Angabe eines einfachen Musters der Nachkommastellen geschlossen anzugeben. Es ist lediglich eine zunehmend bessere Annäherung durch Berechnung weiterer Nachkommastellen möglich. Seit dem 8. Juni 2022 sind 100 Billionen Nachkommastellen der Kreiszahl bekannt.

Die Erforschung der Kreiszahl hat eine sehr lange mathematische Tradition. Erste Berechnungsversuche lassen sich auf das Jahr 250 v. Chr. zurück datieren: Der Mathematiker Archimedes konnte in diesem Zeitraum Pi bis auf zwei Nachkommastellen berechnen. Obwohl die Chinesen Liu Hui bzw. Zu Chongzhi im Zeitraum 300 bis 500 v. Chr. schon 6 bis 7 Nachkommastellen kannten, verblieben die Berechnungen des Archimedes in den westlichen Kulturen lange der Status quo. Erst ab dem 16. Jahrhundert wurden auch in Europa die Forschungen zur Kreiszahl erneut aufgenommen, wobei sich seit dieser Zeit ein gewisser Wettlauf hinsichtlich der Berechnungsgenauigkeit einstellte. Geometrische Verfahren, die auf der Annäherung des Kreises durch Vielecke basierten, wurden zunehmend durch Methoden der Analysis ersetzt. Vornehmlich Berechnungen über unendliche Reihen, die seit Begründung einer rigorosen Trigonometrie zur Verfügung standen, wurden dabei verwendet. Für heutige Berechnungen ist die Anwendung des Chudnovsky-Algorithmus gängige Praxis.

Zu den ältesten Problemen in der Mathematik, zählt seit der Antike (800 v. Chr. bis 600 n. Chr.) die Darstellung der Zahl ${\displaystyle \pi }$ als exakte Länge auf einer Geraden mithilfe der sogenannten euklidischen Werkzeuge. Dieses Problem steckt auch im prominentesten antiken Rätsel Quadratur des Kreises, denn es benötigt für das gesuchte flächengleiche Quadrat die Seitenlänge ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}\cdot r}$. In wohl zahllosen konstruktiven Versuchen – der Beweis der Unmöglichkeit, wie im Folgenden näher erläutert, war noch nicht erbracht – musste man feststellen: Mit der euklidischen Beschränkung allein mit Zirkel und unmarkiertem Lineal gibt es keine exakte Lösung. Mathematiker und Amateurmathematiker suchten deshalb nach alternativen geometrischen Ansätzen. Sie richteten nun ihr Interesse und ihre Bemühungen insbesondere auf die Verfahren: Näherungskonstruktion, Kurve als zusätzliches Hilfsmittel und (zu einem späteren Zeitpunkt) experimentelle Lösung.

Nicht nur die immer genauere Berechnung der Kreiszahl erfuhr Interesse. Auch wurden Bestrebungen für ein hintergründiges und theoretisches Verständnis für diese Konstante vorangetrieben. Dies vollzog sich parallel zu der Weiterentwicklung der Mathematik im Gesamten. Im Zeitraum 1761 bis 1767 konnte Johann Heinrich Lambert den mathematischen Beweis erbringen, dass ${\displaystyle \pi }$ eine irrationale Zahl ist. Dieses Ergebnis wurde 1882 von Ferdinand von Lindemann durch den Beweis verschärft, dass ${\displaystyle \pi }$ eine transzendente Zahl ist. Damit grenzt sich die Kreiszahl auch von den irrationalen Zahlen ab, die als Lösungen algebraischer Gleichungen „sichtbar“ werden. Damit sind Gleichungen gemeint, die nur aus ganzen Zahlen und einer endlichen Abfolge der vier Grundrechenarten aufgebaut sind (triviale Beispiele wie ${\displaystyle 0=0}$ ausgenommen): Beispielsweise ist ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ zwar irrational, aber nicht transzendent, da es Lösung der Gleichung ${\displaystyle x^{2}-2=0}$ ist. Allerdings verbleiben viele Fragen bis heute offen. Es wird zum Beispiel vermutet, dass ${\displaystyle \pi }$ eine normale Zahl ist, seine Dezimalentwicklung also einem pseudozufälligen Verhalten unterworfen ist. So sollten nicht nur alle Ziffern 0 bis 9 asymptotisch betrachtet gleich häufig auftauchen, sondern langfristig alle Postleitzahlen, Telefonnummern und sogar Texte und Romane (in Zahlen umgewandelt) irgendwo in der Kreiszahl zu finden sein (und dies sogar unendlich oft).

Jule Glühwurm: Die Frage, dass ${\displaystyle \pi }$ eine normale Zahl ist, mag für Mathematiker ja spannend sein. Als Laie denkt man allerdings vermutlich bei den letzten drei Sätzen eher an Zahlenmystik, da viele Normalverbraucher nicht wissen, wie eine normale Zahl definiert ist und die Kurzerklärung somit zumindestens stark irritierend ist.

Googolplexian: Danke. Tatsächlich wurde diese Eigenschaft, dass man „alle Telefonnummern“ irgendwo in Pi finden kann, in Museen zu dem Thema aufgegriffen. Daher hielt ich es bisher für eine brauchbare Umschreibung der vermuteten Normalität. Wie würde es Dir denn besser gefallen?

Jule Glühwurm: In einem Museum besteht die Möglichkeit, es zu erklären. Hier kannst du die mathematisch-philosophische Denkweise nur in 1-2 Sätzen darlegen. Stelle dir begabte HandwerkerInnen vor, die Romane in den Nachkommastellen von ${\displaystyle \pi }$ finden sollen. Die sind bestenfalls verwirrt. Ein Handwerker meines Vertrauens sagte: So'n überzogener Scheiß. Ich rechne mit ${\displaystyle 22/7}$, wenn ich ${\displaystyle \pi }$ brauche und keinen Taschenrechner hab'. Mein Vorschlag: Lass die Romane weg. Beende mit *sondern langfristig alle Postleitzahlen und Telefonnummern*. Ich Frage mich selber auch, warum man 1 Mio Nachkommastellen braucht. Wo ist da die Relevanz? Und hier befinden wir uns immer noch in der Einleitung. Gäbe es einen Unterabschnitt Philosophische Betrachtungen/ mathematische Spielereien, dann würde ich es dort passend finden. Aber dies ist sicher Geschmackssache.

Jule Glühwurm: Habe gerade Eigenschaften gelesen, da passt es doch gut mit den Romanen. Hier in der Einleitung würde ich allerdings noch die Auswirkungen zu einfacher Näherungsbrüche einbringen. Zum Beispiel, dass ${\displaystyle 22/7}$ in der Raumfahrt dazu führen würde, dass man nicht zum Mond, sondern am Mond vorbei fliegen würde. (Habe keine Ahnung, ob das stimmt.) Ich fühle mich leider nicht in der Lage, entsprechendes einzubringen.

Die Kreiszahl tritt nach heutigen Erkenntnissen nicht nur bei Kreisberechnungen in der Geometrie auf, sondern hat auch in anderen mathematischen Teilgebieten und Theorien enorm an Bedeutung gewonnen. Sie tritt flächendeckend in den Feldern der Analysis, Kombinatorik, Topologie, Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie und Physik auf. Die Querverbindung zur Kreisgeometrie ist dabei teilweise nur noch schwierig nachzuvollziehen.

Petrus3743: Der Inhalt dieses Abschnitts unterscheidet sich von dem im Artikel!

1. ↑ H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, A. Prestel, R. Remmert: Zahlen.Springer, 2013, ISBN 9783642967832, S. 102
2. ↑ Jörg Neunhäuserer: Schöne Sätze der Mathematik. Springer, 2017, ISBN 9783662539675, S. 67