Benutzer:Googolplexian1221/Modulform

In der Mathematik sind Modulformen eine bestimmte Gattung von Funktionen, die eine überaus starke Form der Symmetrie besitzen, und aufgrund ihrer sehr breiten Anwendungsmöglichkeiten wie zum Beispiel in algebraischer, algorithmischer und analytischer Zahlentheorie, Topologie, Darstellungstheorie, Gruppentheorie, komplexer, algebraischer bzw. arithmetischer Geometrie, diskreter Mathematik, Kombinatorik, Funktionentheorie, Stringtheorie, Quantenphysik, Differentialgleichungen und Knotentheorie zu den bedeutendsten Objekten innerhalb der modernen Mathematik bzw. theoretischen Physik gehören.

In der klassischen Form handelt es sich um auf der oberen Halbebene der komplexen Zahlen meromorphe Funktionen, die ein bestimmtes Transformationsverhalten bezüglich ihrer Funktionswerte respektieren, und am Rand ihres Definitionsbereichs kein zu starkes Wachstum besitzen. In einigen Anwendungen verlangt man jedoch einschränkend, dass Modulformen holomorphe Funktionen sind, was ihnen nochmal erheblich mehr Struktur verleiht. Wichtiger Spezialfall ist der Begriff der Modulfunktion, der zusätzlich eine Form der absoluten Invarianz fordert, was eine höhere Anforderung als denen einer Modulform darstellt. Ihre Entdeckungsgeschichte lässt bis in die Anfänge des 19. Jahrhunderts zurückverfolgen, wo sie besonders mit Namen wie Carl Friedrich Gauß, Gotthold Eisenstein und Carl Gustav Jacobi assoziiert sind. Umfangreiche Forschungsprogramme ab dem 20. Jahrhundert haben jedoch zu sehr weitreichenden Verallgemeinerungen von „klassischen Modulformen“ geführt, und den Begriff der automorphen Formen geprägt, die in der modernen Mathematik primär als Objekte der Darstellungstheorie gesehen werden.

Modulformen werden als Kandidaten für eine Vereinheitlichung großer Bereiche der Mathematik und theoretischen Physik gesehen. Damit ist gemeint, dass sie Brücken zwischen mathematischen aber auch physikalischen Theorien bauen, die längere Zeit als verschieden angesehen wurden und teils eine völlig unterschiedliche mathematische Historie und Tradition haben. In manchen Fällen sind solche Zusammenhänge in der Vergangenheit schon gezeigt worden, in anderen Fällen, besonders im Umfeld der Zahlentheorie und Darstellungstheorie, werden sie bis heute nur vermutet. Sehr kurz beschreiben lassen sich diese Zusammenhänge durch ein „gemeinsames Vorhandensein von Symmetrie“. Vereinheitlichende mathematische Theorien sind deshalb von Interesse, da sie gewissermaßen die tiefere „Architektur der Mathematik“ aufzeigen, und durch die dadurch entstehenden Einsichten neue Anwendungsmöglichkeiten schaffen können. In etwa eröffnet sich die Möglichkeiten, Probleme einer Theorie äquivalent in eine andere Theorie zu übertragen, und gegebenenfalls mit den dort vorhandenen Methoden zu lösen. Auch in der theoretischen Physik gelten Modulformen als Bestandteil innerhalb mathematischer Theorien, die tiefere Strukturen hinter dem Aufbau des Universums erklären könnten - etwa im Umfeld „Großer vereinheitlichter Theorien“ (GUT) - ähnlich wie die Riemannsche Geometrie aus der Mathematik die Grundlage für Albert Einsteins Relativitätstheorie bildete, die sich später experimentell bestätigen ließ.

Der mathematische Hintergedanke bei der Definition einer Modulform ist, ein Objekt mit „so viel Struktur wie möglich“ auszustatten. Die Philosophie dahinter besagt, dass solche Objekte zwar unter Hinzunahme von Eigenschaften immer seltener, aber dadurch zugleich in der Theorie „immer mächtiger“ werden.

Dieser Artikel befasst sich primär mit den klassischen elliptischen Modulformen. Darüber hinaus wurden viele weitere Arten von Modulformen gefunden, zum Beispiel Jacobiformen, Siegelsche Modulformen, Hilbertsche Modulformen sowie p-adische Modulformen.