Chi-Quadrat-Verteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung bzw. ${\displaystyle \chi ^{2}}$-Verteilung (ältere Bezeichnung: Helmert-Pearson-Verteilung, nach Friedrich Robert Helmert und Karl Pearson) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der nichtnegativen reellen Zahlen. Üblicherweise ist mit „Chi-Quadrat-Verteilung“ die zentrale Chi-Quadrat-Verteilung gemeint. Die Chi-Quadrat-Verteilung hat einen einzigen Parameter, nämlich die Anzahl der Freiheitsgrade ${\displaystyle n}$.

Sie ist eine der Verteilungen, die aus der Normalverteilung ${\displaystyle {\mathcal {N}}\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)}$ abgeleitet werden kann: Sind ${\displaystyle Z_{1},...,Z_{n}}$ unabhängige und standardnormalverteilte Zufallsvariablen, so ist die Chi-Quadrat-Verteilung mit ${\displaystyle n}$ Freiheitsgraden definiert als die Verteilung der Summe ${\displaystyle Z_{1}^{2}+\dotsb +Z_{n}^{2}}$ der quadrierten Zufallsvariablen. Solche Summen quadrierter Zufallsvariablen treten bei Schätzfunktionen wie der Stichprobenvarianz zur Schätzung der empirischen Varianz auf. Die Chi-Quadrat-Verteilung ermöglicht damit unter anderem ein Urteil über die Kompatibilität eines vermuteten funktionalen Zusammenhangs (Abhängigkeit von der Zeit, Temperatur, Druck etc.) mit empirisch ermittelten Messpunkten. Kann z. B. eine Gerade die Daten erklären, oder braucht man doch eine Parabel oder vielleicht einen Logarithmus? Man wählt verschiedene Modelle aus, und dasjenige mit der besten Anpassungsgüte, dem kleinsten Chi-Quadrat-Wert, bietet die beste Erklärung der Daten.^[1][2] So stellt die Chi-Quadrat-Verteilung durch die Quantifizierung der zufälligen Schwankungen die Auswahl verschiedener Erklärungsmodelle auf eine numerische Basis. Außerdem erlaubt sie, wenn man die empirische Varianz bestimmt hat, die Schätzung des Vertrauensintervalls, das den (unbekannten) Wert der Varianz der Grundgesamtheit mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit einschließt. Diese und weitere Anwendungen sind weiter unten und im Artikel Chi-Quadrat-Test beschrieben.

Die Chi-Quadrat-Verteilung wurde 1876 eingeführt von Friedrich Robert Helmert, die Bezeichnung stammt von Karl Pearson (1900).^[3]

1. ↑ R. Barlow: Statistics Wiley, 1989, S. 152 (Goodness of Fit).
2. ↑ Kendall, Stuart: The Advanced Theory Of Statistics Vol. 2 Third Edition, London, 1973, S. 436 (Goodness of Fit).
3. ↑ F. R. Helmert. In: Zeitschrift fuer Math. und Physik 21, 1876, S. 192–219. Karl Pearson: On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is such that it Can Reasonably Be Supposed to have Arisen from Random Sampling. In: Philosophical Magazine 5, Band 50, 1900, S. 157–175. Zitiert nach L. Schmetterer: Mathematische Statistik. Springer, Wien 1966, S. 93