Dedekindsche Zeta-Funktion

Die Dedekindsche Zeta-Funktion eines Zahlkörpers ${\displaystyle K}$ ist definiert als

${\displaystyle \zeta _{K}(s):=\sum _{\mathfrak {a}}{{\mathfrak {N}}({\mathfrak {a}})}^{-s}}$

wobei ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ die Ideale des Ganzheitsrings ${\displaystyle O(K)}$ des Zahlkörpers ${\displaystyle K}$ durchläuft und ${\displaystyle {\mathfrak {N}}({\mathfrak {a}})}$ deren Absolutnorm ist. Die Reihe ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$ ist absolut und gleichmäßig konvergent im Bereich ${\displaystyle \Re (s)\geq 1+\delta }$ für alle ${\displaystyle \delta >0}$ und es gilt die Produktdarstellung

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-{{\mathfrak {N}}({\mathfrak {p}})}^{-s}}}}$,

wobei ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ die Primideale von ${\displaystyle O(K)}$ durchläuft. Die Zeta-Funktion besitzt eine analytische Fortsetzung auf ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$ sowie einen Pol in ${\displaystyle s=1}$.

Die Dedekindsche Zeta-Funktion stellt somit eine Verallgemeinerung der Riemannschen Zeta-Funktion dar, die mit dem Körper der rationalen Zahlen (dessen Ganzheitsring gerade ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist) korrespondiert.