Determinante

In der linearen Algebra ist die Determinante eine Zahl (ein Skalar), die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird und aus ihren Einträgen berechnet werden kann. Sie gibt an, wie sich das Volumen bei der durch die Matrix beschriebenen linearen Abbildung ändert, und ist ein nützliches Hilfsmittel bei der Lösung linearer Gleichungssysteme. Allgemeiner kann man jeder linearen Selbstabbildung (Endomorphismus) eine Determinante zuordnen. Übliche Schreibweisen für die Determinante einer quadratischen Matrix ${\displaystyle A}$ sind ${\displaystyle \det(A)}$, ${\displaystyle \det A}$ oder ${\displaystyle |A|}$.

Zum Beispiel kann die Determinante einer ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}}$

mit der Formel

${\displaystyle \det A={\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}}=ad-bc}$

berechnet werden.

Mit Hilfe von Determinanten kann man beispielsweise feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, und kann die Lösung mit Hilfe der Cramerschen Regel explizit angeben. Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist. Entsprechend ist eine quadratische Matrix mit Einträgen aus einem Körper genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist.

Schreibt man ${\displaystyle n}$ Vektoren im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ als Spalten einer quadratischen Matrix, so kann die Determinante dieser Matrix gebildet werden. Bilden bei dieser Festlegung die ${\displaystyle n}$ Vektoren eine Basis, so kann das Vorzeichen der Determinante dazu verwendet werden, die Orientierung von euklidischen Räumen zu definieren. Der Absolutbetrag dieser Determinante entspricht zugleich dem Volumen des n-Parallelotops (auch Spat genannt), das durch diese Vektoren aufgespannt wird.

Wird die lineare Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ durch die Matrix ${\displaystyle A}$ repräsentiert und ist ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ eine beliebige messbare Teilmenge, dann folgt, dass das Volumen von ${\displaystyle f(S)}$ durch ${\displaystyle \left|\det A\right|\cdot \operatorname {Volumen} (S)}$ gegeben ist.

Wird die lineare Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ durch die ${\displaystyle m\times n}$-Matrix ${\displaystyle A}$ repräsentiert und ist ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ eine beliebige messbare Teilmenge, so gilt im Allgemeinen, dass das ${\displaystyle m}$-dimensionale Volumen von ${\displaystyle f(S)}$ durch ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\det(A^{T}A)}}\cdot \operatorname {Volumen} (S)}$ gegeben ist, siehe Gramsche Determinante.

Das Konzept der Determinante ist von Interesse für ${\displaystyle (n\times n)}$-Matrizen mit ${\displaystyle n>1}$. Für ${\displaystyle n=1}$ verkommt es zur Trivialität ${\displaystyle \det a=a}$: So besteht ein lineares Gleichungssystem für den Fall ${\displaystyle n=1}$ aus einer Gleichung ${\displaystyle ax=b}$. Lösbarkeitskriterium und -strategie für diese Gleichung sind bekannt: Falls ${\displaystyle a\neq 0}$, setze ${\displaystyle x:=a^{-1}b}$.