Hyperbel (Mathematik)

In der ebenen Geometrie versteht man unter einer Hyperbel eine spezielle Kurve, die aus zwei zueinander symmetrischen, sich ins Unendliche erstreckenden Ästen besteht. Sie zählt neben dem Kreis, der Parabel und der Ellipse zu den Kegelschnitten, die beim Schnitt einer Ebene mit einem geraden Kreiskegel entstehen.

Wie Ellipse und Parabel lassen sich Hyperbeln als Ortskurven in der Ebene definieren (s. Abschnitt Definition einer Hyperbel als Ortskurve).

Jede Hyperbel lässt sich in einem geeigneten Koordinatensystem durch die Gleichung ${\displaystyle \;{\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\;}$ beschreiben (s. Abschnitt Gleichung). Die Parameter ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ heißen halbe Hauptachse bzw. halbe Nebenachse.

Die Hyperbel wurde von Menaichmos entdeckt. Die von Apollonios von Perge eingeführte Bezeichnung kommt aus dem Griechischen und bezieht sich im Zusammenhang mit Konstruktion als Kegelschnitt auf die Übertreibung (ὑπερβολή hyperbolé, von altgriechisch βάλλειν bállein, deutsch ‚werfen‘, ὑπερβάλλειν hyperballein, deutsch ‚über das Ziel hinaus werfen‘) des Schnittwinkels (oder der numerischen Exzentrizität ${\displaystyle \varepsilon }$, s. unten): Mit steigendem Schnittwinkel verwandelt sich der Kreis (${\displaystyle \varepsilon =0}$, Schnittebene senkrecht zur Kegelachse) erst zu immer länglicheren Ellipsen und dann über die Parabel (${\displaystyle \varepsilon =1}$, Schnittebene parallel zu einer Tangentialebene des Kegels) zu Hyperbeln mit ${\displaystyle \varepsilon >1}$.^[1]

1. ↑ I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew (Begründer), Günter Grosche (Bearb.), Eberhard Zeidler (Hrsg.): Teubner-Taschenbuch der Mathematik. Teubner, Stuttgart 1996, ISBN 3-8154-2001-6, S. 24.