Kongruente Zahl

Dreieck mit dem Flächeninhalt 6, einer kongruenten Zahl.

In der Zahlentheorie sind kongruente Zahlen ganze Zahlen, welche sich als Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Seitenlängen darstellen lassen. Historisch namensgebend sind "sich treffende" (lat. congruere) arithmetische Folgen von Quadratzahlen, womit auf von Leonardo Fibonacci eingeführte congruum, pl. congrua verwiesen wird, welche mit einem geeigneten rationalen Quadrat multipliziert die kongruente Zahlen bilden. Édouard Lucas bewies 1877 für kongruente Zahlen n den Zusammenhang mit rationalen Lösungen der Gleichung: $y^{2}=x^{4}-n^{2}$ . Kurt Heegner war der erste, der das Problem kongruenter Zahlen mit elliptischen Kurven verband, und 1952 bewies er, dass eine Primzahl eine kongruente Zahl ist, wenn $p\equiv 5\mod 8$ oder $p\equiv 7\mod 8$ .

Die Folge der kongruenten Zahlen (Folge A003273 in OEIS) beginnt mit

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, …

Tabelle der kongruenten Zahlen: n ≤ 120^[1]
—: Nicht-Kongruente Zahl K: Quadratfreie Kongruente Zahl Q: Kongruente Zahl mit quadratischem Faktor
n	1	2	3	4	5	6	7	8
	—	—	—	—	K	K	K	—
n	9	10	11	12	13	14	15	16
	—	—	—	—	K	K	K	—
n	17	18	19	20	21	22	23	24
	—	—	—	Q	K	K	K	Q
n	25	26	27	28	29	30	31	32
	—	—	—	Q	K	K	K	—
n	33	34	35	36	37	38	39	40
	—	K	—	—	K	K	K	—
n	41	42	43	44	45	46	47	48
	K	—	—	—	Q	K	K	—
n	49	50	51	52	53	54	55	56
	—	—	—	Q	K	Q	K	Q
n	57	58	59	60	61	62	63	64
	—	—	—	Q	K	K	Q	—
n	65	66	67	68	69	70	71	72
	K	—	—	—	K	K	K	—
n	73	74	75	76	77	78	79	80
	—	—	—	—	K	K	K	Q
n	81	82	83	84	85	86	87	88
	—	—	—	Q	K	K	K	Q
n	89	90	91	92	93	94	95	96
	—	—	—	Q	K	K	K	Q
n	97	98	99	100	101	102	103	104
	—	—	—	—	K	K	K	—
n	105	106	107	108	109	110	111	112
	—	—	—	—	K	K	K	Q
n	113	114	115	116	117	118	119	120
	—	—	—	Q	Q	K	K	Q

Beispiel: Die ganze Zahl 6 ist eine kongruente Zahl, denn das rechtwinklige Dreieck mit den Katheten $a=3$ und $b=4$ besitzt den Flächeninhalt $A={\tfrac {1}{2}}ab=6$ und nach dem Satz des Pythagoras die Hypotenuse $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {9+16}}=5$ . Also ist die ganze Zahl 6 als Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Seitenlängen eine kongruente Zahl.

Für jede positive ganze Zahl $s$ ist eine ganze Zahl $q$ genau dann eine Kongruenzzahl, wenn $s^{2}q$ eine Kongruenzzahl ist. Deshalb kann man sich bei der Lösung des Kongruenzzahl-Problems auf quadratfreie Zahlen beschränken.

Allgemeiner werden auch alle rationalen Zahlen, die als Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Seitenlängen auftreten, als kongruente Zahlen bezeichnet.^[2]

↑ Folge A003273 in OEIS
↑ Neal Koblitz: Introduction to elliptic curves and modular forms, Springer-Verlag, 1984, 2. Auflage 1993, ISBN 3-540-97966-2, S. 3 (englisch)

[1] Folge A003273 in OEIS

[2] Neal Koblitz: Introduction to elliptic curves and modular forms, Springer-Verlag, 1984, 2. Auflage 1993, ISBN 3-540-97966-2, S. 3 (englisch)

[1]

[2]

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