Noether-Theorem

Das Noether-Theorem (formuliert 1918 von Emmy Noether) verknüpft elementare physikalische Größen wie Ladung, Energie und Impuls mit geometrischen Eigenschaften, nämlich der Invarianz (Unveränderlichkeit) der Wirkung unter Symmetrietransformationen:

Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße.

Dabei ist eine Symmetrie eine Transformation (zum Beispiel eine Drehung oder Verschiebung), die das Verhalten des physikalischen Systems nicht ändert. Es gilt auch die Umkehrung:

Jede Erhaltungsgröße ist Generator einer Symmetriegruppe.^[1]

Eine Erhaltungsgröße eines Systems von Teilchen ist eine Funktion der Zeit ${\displaystyle t}$, der Orte ${\displaystyle x}$ und der Geschwindigkeiten ${\displaystyle v}$ der Teilchen, deren Wert sich auf jeder von ihnen im Laufe der Zeit durchlaufenen Bahn ${\displaystyle x(t)}$ nicht ändert. So ist die Energie ${\displaystyle E(t,x,v)={\tfrac {1}{2}}\,m\,v^{2}+V(x)}$ eines nichtrelativistischen Teilchens der Masse ${\displaystyle m}$, das sich in einem Potential ${\displaystyle V}$ bewegt, eine Erhaltungsgröße. Das heißt, für jede Bahn ${\displaystyle x(t)}$, die der Bewegungsgleichung ${\displaystyle m{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+\mathrm {grad} \,V(x)=0}$ genügt, gilt zu jeder Zeit ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle E{\bigl (}t,x(t),{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}(t){\bigr )}=E{\bigl (}0,x(0),{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}(0){\bigr )}}$.

1. ↑ Eugene J. Saletan und Alan H. Cromer: Theoretical Mechanics. John Wiley & Sons, 1971, ISBN 0-471-74986-9, S. 83–86 (englisch).