Quaternion

Die Quaternionen (Singular die oder das Quaternion, von lateinisch quaternio, -ionis m. „Vierheit“) sind ein Zahlenbereich, der den Zahlenbereich der reellen Zahlen erweitert – ähnlich den komplexen Zahlen und über diese hinaus. Beschrieben (und systematisch fortentwickelt) wurden sie ab 1843 von William Rowan Hamilton;^[1] sie werden deshalb auch hamiltonsche Quaternionen oder Hamilton-Zahlen genannt. Olinde Rodrigues entdeckte sie bereits 1840 unabhängig von Hamilton.^[2] Trotzdem wird die Menge der Quaternionen meistens mit ${\displaystyle \mathbb {H} }$ bezeichnet.

Die Quaternionen bilden einen Schiefkörper (oder Divisionsring), bei dem die Multiplikation auch von der Reihenfolge der Faktoren abhängt, also nicht kommutativ ist. Das heißt, es gibt Quaternionen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$, bei denen

${\displaystyle xy\;\;\neq \;\;yx}$

ist. Einige aus dem Reellen bekannte Rechenregeln gelten deshalb für Quaternionen nicht, jedoch gelten Assoziativ- und Distributivgesetz sowie multiplikative Invertierbarkeit, d. h. die Existenz des Inversen ${\displaystyle x^{-1}}$ zu jedem ${\displaystyle x\neq 0}$. Die Quaternionen waren das erste Beispiel eines nichtkommutativen Schiefkörpers.^[3]

Quaternionen erlauben in vielen Fällen eine rechnerisch elegante Beschreibung des dreidimensionalen euklidischen Raumes und anderer Räume, insbesondere im Kontext von Drehungen. Daher verwendet man sie unter anderem in Berechnungs- und Darstellungsalgorithmen für Simulationen sowie zur Auswertung kristallographischer Texturen.^[4] Sie sind aber auch als eigenständiges mathematisches Objekt von Interesse und dienen so zum Beispiel im Beweis des Vier-Quadrate-Satzes.

1. ↑ Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. 7. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-528-66508-1, S. 30. 
2. ↑ Bei Gauß findet sich eine Notiz über die Multiplikation und Konjugation von Quadrupeln im Kapitel Mutation des Raumes. In: Carl Friedrich Gauß: Werke. Achter Band. König. Gesell. Wissen., Göttingen 1900, S. 357–361, die auf das Jahr 1819 datiert wird. Die Unterschiede zu Hamilton gehen nicht über notationelle Konventionen hinaus. (Zitiert nach Lam S. 25).
3. ↑ Lam S. 1
4. ↑ Karsten Kunze, Helmut Schaeben: The Bingham Distribution of Quaternions und Its Spherical Radon Transform in Texture Analysis. In: Mathematical Geology. 8. Jahrgang, November 2004, S. 917–943, doi:10.1023/B:MATG.0000048799.56445.59 (englisch).