Transzendente Gleichung

In der Mathematik ist eine transzendente Gleichung eine Gleichung in einer Unbekannten, in der die Unbekannte im Argument wenigstens einer transzendenten Funktion vorkommt.^[1][2] Beispiele sind

(1):${\displaystyle \ e^{x}-1=x\ ,\quad }$ (2):${\displaystyle \ \sin(2x)+\ln x=0\ ,\quad }$ (3): ${\displaystyle \ \sinh(x^{2})\cdot \arccos x=e^{x}-1\ .}$

Während man bei der Nullstellenbestimmung eines Polynoms die maximale Anzahl und Lage der Nullstellen abschätzen kann und das Problem bei einer bekannten Lösung durch Polynomdivision reduzieren kann, ist dies bei transzendenten Gleichungen nicht möglich. Zum Beispiel hat die Gleichung ${\displaystyle \sin x=0}$ unendlich viele Lösungen. In der Praxis lässt sich aber meistens durch die jeweilige Problemstellung der Bereich, in dem man Lösungen vermutet, einschränken.

Die Vielfalt transzendenter Funktionen ist sehr groß. Bei praktischen Problemen stößt man allerdings meistens auf Gleichungen, die eine oder mehrere Funktionen der folgenden Art enthalten:

${\displaystyle \sin ,\cos ,\tan ,\exp ,\sinh ,\cosh \ }$ und deren Umkehrfunktionen.

Da sie auf Taschenrechnern bereitgestellt werden, werden sie hier der Einfachheit halber TTR-Funktionen genannt. Von diesen Standard-Funktionen verschiedene transzendente Funktionen lassen sich oft mit Hilfe einer Potenzreihe beschreiben, z. B. die Si-Funktion.

Man beachte: Wurzelfunktionen sind keine transzendenten Funktionen.

1. ↑ Kleine Enzyklopädie Mathematik. Harry Deutsch Verlag, 1977, ISBN 3 87144 323 9, S. 88.
2. ↑ Arnfried Kemnitz: Mathematik zum Studienbeginn. Springer-Verlag, 2010, ISBN 3834812935, S. 73.