Vektorraum

Ein Vektorraum oder linearer Raum ist eine algebraische Struktur, die in vielen Teilgebieten der Mathematik verwendet wird. Vektorräume bilden den zentralen Untersuchungsgegenstand der linearen Algebra. Die Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren. Sie können addiert oder mit Skalaren (Zahlen) multipliziert werden, das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraums. Entstanden ist der Begriff, indem diese Eigenschaften ausgehend von Vektoren des euklidischen Raumes abstrahiert wurden, sodass sie dann auf abstraktere Objekte wie Funktionen oder Matrizen übertragbar sind.

Die Skalare, mit denen man einen Vektor multiplizieren kann, stammen aus einem Körper. Deswegen ist ein Vektorraum immer ein Vektorraum über einem bestimmten Körper. Sehr oft handelt es sich dabei um den Körper ${\displaystyle \mathbb {R} }$ der reellen Zahlen oder den Körper ${\displaystyle \mathbb {C} }$ der komplexen Zahlen. Man spricht dann von einem reellen Vektorraum bzw. einem komplexen Vektorraum.

Eine Basis eines Vektorraums ist eine Menge von Vektoren, die es erlaubt, jeden Vektor durch eindeutige Koordinaten darzustellen. Die Anzahl der Basisvektoren in einer Basis wird Dimension des Vektorraums genannt. Sie ist unabhängig von der Wahl der Basis und kann auch unendlich sein. Die strukturellen Eigenschaften eines Vektorraums sind eindeutig durch den Körper, über dem er definiert ist, und seine Dimension bestimmt.

Eine Basis ermöglicht es, Rechnungen mit Vektoren über deren Koordinaten statt mit den Vektoren selbst auszuführen, was manche Anwendungen erleichtert.