Wikipedia:Hauptseite/Archiv/2. Juli 2024

Das Siebzehneck, 17-Eck oder Hepta­dekagon ist eine geo­metri­sche Figur, die zur Gruppe der Viel­ecke (Polygone) gehört. Es ist definiert durch sieb­zehn Punkte, die durch sieb­zehn Strecken zu einem geschlos­senen Linien­zug verbun­den sind. Mehr als 2000 Jahre lang war man davon überz­eugt, das Sieb­zehn­eck sei nicht allein mit Zirkel und Lineal kon­struier­bar. Erst Ende des 18. Jahr­hunderts ent­deckte der damals acht­zehn­jährige Carl Friedrich Gauß eine Formel, mit deren Hilfe die Kon­struk­tion gelingt. Die Idee hinter seiner Ent­deckung ist, dass Punkte, die sich mit Zirkel und Lineal aus zum Bei­spiel dem Ursprung ${\displaystyle (0,0)}$ und dem Punkt ${\displaystyle (1,0)}$ konstru­ieren lassen, stets bestimmte lineare oder quadra­tische Gleich­ungen erfüllen. Diese Gleich­ungen haben Koeffizien­ten, die sich aus den bisher schon konstru­ierten Punkten mit den vier Grund­rechen­arten bestim­men lassen. Hinter­grund ist, dass von Linealen erzeugte Geraden durch lineare Gleich­ungen bzw. von Zirkeln erzeugte Kreise durch quadra­tische Gleich­ungen gegeben sind. Gauß’ Leistung bestand unter anderem darin, die für das Sieb­zehn­eck kritische Größe ${\displaystyle \cos({\tfrac {2\pi }{17}})}$ (mit dem Kosinus ${\displaystyle \cos }$ und der Kreis­zahl ${\displaystyle \pi }$) durch eine Verschach­telung von Quadrat­wurzeln ganzer Zahlen auszu­drücken, was eine zwar mühsame, aber dennoch in endlich vielen Schritten ausführ­bare Konstruk­tion ermöglicht. – Zum Artikel …

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