Diferencialo

Ĉi tiu artikolo temas pri Diferencialo de funkcio. Por aliaj signifoj vidu la artikolon Diferencialo (apartigilo).

En matematiko, la diferencialo de reela funkcio de unu aŭ pluraj variabloj estas mezuro de la funkcia vario (kresko aŭ malkresko). Penso pri diferencialoj estas natura sekvo de studo de derivaĵoj. Ĉiu diferencialo estas konstruata sur iu funkcio, sed ankaŭ en iu punkto. Tiel, diferencialo dependas el funkcio f kaj punkto a en sia fontaro. Iom plej precize, la diferencialo informas pri la kresko de f ĉirkaŭ a: se x estas ĉe a, la diferenco inter ${\displaystyle f(x)}$ kaj ${\displaystyle f(a)}$ kaj la diferenco ${\displaystyle x-a}$ estas en iu proporcio, kiun la diferencialo de f mezuras. La kvalito de tiu proporcio pligrandas se x pliproksimias al a. Se f estas kontinua en a, ${\displaystyle f(x)-f(a)}$ estas malgranda se ${\displaystyle x-a}$ estas sufiĉe malgranda. La diferencialo mezuras kiom malgranda ĝi estas.

Kiam f havas pli ol unu argumenton, la diferenco ${\displaystyle f(x)-f(a)}$ ne dependas nur de la absoluta valoro ${\displaystyle |x-a|}$, sed ankaŭ de ĝia direkto. Simplaekzemple, la duargumenta funkcio ${\displaystyle f(x,y)=x}$ ne ŝanĝas se y ŝanĝas, sed ${\displaystyle f(x,0)-f(0,0)=x}$. Tio montras ke, en la punkto ${\displaystyle (0,0)}$, f iusence havas derivaĵon ${\displaystyle {\frac {x}{x}}=1}$. La diferencialo de f indikas tiun sintenon, montrante ekzemple la direkton en kiu f kreskas plej rapide.

Laŭ la matematika sperto, por studi funkcioj loke (t.e., ĉirkaŭ iu punkto), estas utile kompari ĝin kun linearaj funkcioj (kaj por fari tion lineara algebro multe gravas). La funkcioj ${\displaystyle T(x_{1},...x_{n})=c_{1}x_{1}+...+c_{n}x_{n}}$, kvankam simplaj, ŝanĝas malegale en diferencaj direktoj. Do, ili povas modeli la kreskon de diversaj funkcioj. Se la nombrojn ${\displaystyle c_{1},...c_{n}}$ oni imagas kiel variablojn, malfiniaj linearaj funkcioj imagiĝas, kaj unu el ili povas esti tia, ke ${\displaystyle f(x)-f(a)}$ estas proksimume ${\displaystyle T(x-a)}$, se oni rigardas nur xjn proksimajn al a. Alia esprimebleco por tio estas diri ke ${\displaystyle f(x)-f(a)-T(x-a)=f(x_{1},...x_{n})-f(a)-(c_{1}(x_{1}-a_{1})+...+c_{n}(x_{n}-a_{n}))}$ povas esti malgranda eraro, se oni elektas korektajn ${\displaystyle c_{1},...c_{n}}$.

Geometrie, linearaj funkcioj havas ebenojn kiel grafikoj (almenaŭ se la domajno estas dudimensia). Se ${\displaystyle f(x)-f(a)}$ estas preskaŭ lineara, la grafiko de f estas preskaŭ la grafikebeno. Tio harmonias kun la intuicio ke, en grafikoj de dudimensiaj funkcioj, oni povas imagi ebenojn tanĝantajn al la grafiksfurfaco.

Sed ne ĉiuj funkcioj havas diferencialon, kaj estas funkcioj, kiuj havas diferencialojn nur en kelkaj punktoj. La funkcioj, kiuj havas, nomiĝas diferencialeblaj (en a). Se f estas diferencialebla en ĉiu punkto a de sia domajno, oni nomas ĝin "ĉiupunkte diferenciabla", "ĉie diferenciabla" aŭ simile.

Per derivaĵoj oni povas, laŭ la metodoj de la diferenciala kalkulo kaj matematika analitiko, kalkuli kaj plikompreni la inklinon de funkcia grafiko en iu punkto, tanĝantojn al kurbojn, aŭ en fiziko momentan rapidecon. Per la diferencialoj oni povas plue studi grafikojn de duargumentaj funkcioj aŭ diferencialan geometrion.

La formulo por la diferencialo de la funkcio ${\displaystyle y=f(x)}$ ĉe ${\displaystyle x_{0}}$ estas ${\displaystyle \mathrm {d} y=f'(x_{0})\cdot \mathrm {d} x}$.

Tial la derivaĵo f'(x) ankaŭ povas esti skribita kiel tuteca derivaĵo ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$.