Lineaarikuvaus

Matematiikassa ja erityisesti lineaarialgebrassa sanotaan funktion ${\displaystyle f:A\to B}$ olevan lineaarikuvaus, jos se toteuttaa ehdot

1. ${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )\,}$ ja
2. ${\displaystyle f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} )\,}$

jotka voidaan yhdistää yhdeksi riittäväksi ehdoksi ^[1]

${\displaystyle f(a\mathbf {x} +b\mathbf {y} )=af(\mathbf {x} )+bf(\mathbf {y} )\,}$,

kun ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in A}$, ${\displaystyle a,b\in K}$, ${\displaystyle A,B}$ ovat vektoriavaruuksia ja ${\displaystyle K}$ on kerroinkunta. Tällöin sanotaan myös, että funktio ${\displaystyle f}$ on lineaarinen. Määritelmän ehdosta 1 seuraa välttämättä, että ${\displaystyle f(\mathbf {0} )=\mathbf {0} }$. Vektoriavaruudet voivat olla myös kompleksisia.

Lineaarikuvauksen derivaatta on vakio. Tästä seuraa:

${\displaystyle f(x_{2})-f(x_{1})=f(x_{2}+h)-f(x_{1}+h)\,}$

Lineaarikuvausta merkitään usein isolla L-kirjaimella ja laittamalla sulkuihin vektoriavaruus, jonka alajoukko kyseinen lineaarikuvaus on. Esimerkiksi ${\displaystyle L(V)}$, jolloin vektoriavaruus on V.^[2]

1. ↑ Adams, Robert A.: Calculus: A complete Course, s. 636. (5. painos) Addison Wesley Longman, 2003. ISBN 0-201-79131-5 (englanniksi)
2. ↑ Rynne, Bryan p. ja Youngson Martin A.: ”1. Preliminaries”, Linear Functional Analysis, s. 6. Springer, 2000.