Rengas (matematiikka)

Rengas on keskeinen algebrassa käytetty matemaattinen käsite. Se on käsitteen kunta yleistys. Rengas sisältää kaksi laskutoimitusta: yhteen- ja kertolaskun. Yhteenlaskun suhteen se on Abelin ryhmä. Kertolaskun suhteen ryhmällä on olemassa neutraalialkio "1" ja voimassa assosiatiivi- ja distributiivilait (vrt. monoidi).^[1]

Pseudorengas määritellään kuten rengas mutta vaatimatta neutraalialkion olemassaoloa.^[2] Jotkin harvat teokset määrittelevät renkaiksi myös pseudorenkaat, tämä artikkeli ei.

Kuntia ovat ne renkaat, joissa kertolaskukin on kommutatiivinen (vaihdannainen, ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$), joka alkiolla ${\displaystyle a\neq 0}$ on käänteisalkio ${\displaystyle b}$ (jolla ${\displaystyle a\cdot b=1}$) ja ${\displaystyle 0\neq 1}$ (eli nollarengasta ${\displaystyle \{0\}}$ ei määritellä kunnaksi, vaikka sekin on nuo muut ehdot täyttävä rengas).

Alla esitetyssä inkluusioketjussa kukin algebrallinen käsite tarkoittaa sen käsitteen ilmenemien joukkoa (esimerkiksi "Pseudorengas" tarkoittaa kaikkien pseudorenkaiden joukkoa):

Rngas eli pseudorengas ⊃ rengas ⊃ kommutatiivinen rengas ⊃ kokonaisalue ⊃ faktoriaalinen kokonaisalue ⊃ pääideaalialue ⊃ euklidinen alue ⊃ kunta ⊃ Algebrallisesti suljettu kunta

1. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä m1 ei löytynyt
2. ↑ Kerkko Luosto: Vaihdannaiset renkaat Tampereen yliopisto.