Comparaison asymptotique

En mathématiques, plus précisément en analyse, la comparaison asymptotique est une méthode consistant à étudier la vitesse de croissance d'une fonction.

Par exemple, la fonction exponentielle croit plus vite qu'une fonction linéaire.

La comparaison asymptotique permet aussi d'étudier la vitesse d'une fonction quelconque par rapport à une fonction considérée comme plus « simple ». Celle-ci est souvent choisie sur une échelle de référence, contenant en général au moins certaines fonctions dites élémentaires, en particulier les sommes et produits de polynômes, d'exponentielles et de logarithmes^[1]. La comparaison s'effectue en l'infini ou alors au voisinage d'un point.

Le concept de comparaison asymptotique est utilisé en physique^{[réf. nécessaire]}. Il l'est aussi en informatique, par exemple pour décrire la complexité de certains algorithmes^[2]. En effet, la comparaison asymptotique est intéressante en l'infini, car on s'intéresse au comportement d'un algorithme sur des données arbitrairement grandes. Cette méthode de comparaison est également employée en théorie analytique des nombres pour évaluer finement l'erreur commise en remplaçant une fonction irrégulière, comme celle comptant les nombres premiers, par une fonction de l'échelle choisie.

La méthode a été introduite par les travaux de Paul du Bois-Reymond à partir de 1872^[1] ; pour faciliter les calculs et la présentation des résultats, diverses notations ont été développées, en particulier par Bachmann (1894), Landau (1909), Hardy (1910), Hardy et Littlewood (1914 et 1916), et Vinogradov (c. 1930).