Puissance d'un nombre

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${\displaystyle {\begin{array}{l}a^{0}=1\\a^{1}=a\\a^{2}=a\times a\\a^{3}=a\times a\times a\end{array}}}$

Premières puissances d'un nombre a.

En algèbre, une puissance d'un nombre est le résultat de la multiplication répétée de ce nombre avec lui-même. Elle est souvent notée en assortissant le nombre d'un entier, typographié en exposant, qui indique le nombre de fois qu'apparaît le nombre comme facteur dans cette multiplication.

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n\ \mathrm {facteurs} }}$

Elle se lit « puissance n-ième de a », « a puissance n » ou « a exposant n ». L'entier n est appelé exposant.

En particulier, le carré et le cube sont des puissances d'exposant 2 et 3 respectivement.

Tout nombre est égal à sa propre puissance d'exposant 1, tandis que toute puissance d'exposant nul vaut 1 par convention.

Pour chaque exposant, la puissance définit donc une opération, dont la notation est prioritaire sur les autres symboles d'opérations algébriques élémentaires. L'opération binaire associée est l'exponentiation, qui se note parfois à l'aide du symbole « ^ », notamment sur les calculatrices. On trouve aussi le symbole ** dans certains langages de programmation (par exemple Python ou Ada)

${\displaystyle {\begin{array}{l}x^{-3}={\dfrac {1}{x^{3}}}\\x^{1/2}={\sqrt {x}}\end{array}}}$

Puissance d'exposant négatif ou rationnel.

Lorsqu'un nombre possède un inverse, il est possible de définir ses puissances d'exposant négatif comme les puissances de cet inverse. Sous certaines conditions, il est même possible de définir des puissances d'exposant rationnel comme 1/2, qui correspond à la racine carrée pour les réels positifs. La fonction exponentielle permet ensuite d'étendre cette définition aux exposants réels ou complexes.

Les opérations algébriques sur les puissances d'un nombre ou de plusieurs possèdent des propriétés particulières. Les puissances de dix, comme 10⁻⁵, sont d'une utilisation régulière dans les autres sciences, notamment en physique et en chimie.