Campo irrotazionale

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In analisi matematica e nel calcolo vettoriale un campo vettoriale ${\displaystyle {\vec {V}}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ si dice campo irrotazionale se il suo rotore è nullo:

${\displaystyle \nabla \times {\vec {V}}={\vec {0}}\,.}$

Ricordando che il rotore può essere espresso come:

${\displaystyle \nabla \times {\vec {V}}={\mbox{det }}\left({\begin{matrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\V_{1}&V_{2}&V_{3}\end{matrix}}\right)}$

dove il determinante è formale (cioè sviluppabile con il teorema di Laplace) solo secondo la prima riga, la prima equazione può essere sviluppata come:

${\displaystyle \nabla \times {\vec {V}}=\left({\frac {\partial V_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial V_{2}}{\partial z}},\quad {\frac {\partial V_{1}}{\partial z}}-{\frac {\partial V_{3}}{\partial x}},\quad {\frac {\partial V_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{1}}{\partial y}}\right).}$

Il rotore di un campo vettoriale nel piano è dato da

${\displaystyle \nabla \times {\vec {V}}=\left(0,\quad 0,\quad {\frac {\partial V_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{1}}{\partial y}}\right),}$

pertanto il campo è irrotazionale se

${\displaystyle {\frac {\partial V_{2}}{\partial x}}={\frac {\partial V_{1}}{\partial y}}.}$

Un campo vettoriale che ha la proprietà di essere irrotazionale non è necessariamente conservativo. Infatti la condizione di irrotazionalità è una condizione necessaria ma non sufficiente per la conservatività: bisogna tenere conto anche dell'insieme ove il campo è definito tramite il lemma di Poincaré. Tuttavia un campo irrotazionale definito in un aperto di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ o di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ localmente è sempre conservativo perché si può sempre scegliere un intorno abbastanza piccolo da far parte dell'insieme in cui il campo sia conservativo. Questo è vero perché la irrotazionalità, come la conservatività, sono proprietà differenziali e quindi si tratta di vedere per quale approssimazione vale la differenziazione del campo.