Completamento di un anello

In matematica, il completamento di un anello è un'operazione che permette di ottenere, a partire da un anello A, un altro anello ${\displaystyle {\hat {A}}}$ con proprietà in generale "migliori", allo stesso modo con cui uno spazio metrico può essere completato; lo stesso nome "completamento" deriva dal fatto che tale operazione può essere vista come completamento di A rispetto alla topologia definita dalle potenze di un suo ideale I, detta topologia I-adica. Un anello che coincide col suo completamento rispetto ad I è detto I-completo, o semplicemente completo se A è locale e I=M è il suo ideale massimale.

Il completamento di un anello è generalmente utilizzato quando A è un anello noetheriano locale (con ideale massimale M), e in cui la topologia è quella M-adica.

Esempi di anelli completi sono l'insieme ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$ dei numeri p-adici (completamento di ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ rispetto all'ideale ${\displaystyle p\mathbb {Z} }$) e l'anello delle serie formali ${\displaystyle K[[x]]}$ su un campo K (completamento dell'anello dei polinomi ${\displaystyle K[x]}$ rispetto all'ideale generato da x).