Metodo dei moltiplicatori di Lagrange

Ricerca dei massimi di ${\displaystyle f(x,y)}$ dato il vincolo (rappresentato in rosso) ${\displaystyle g(x,y)=c}$.

Rappresentazione mediante curve di livello del problema. Le linee blu rappresentano curve di livello di ${\displaystyle f(x,y)}$. La soluzione al problema è data dai punti di tangenza tra la linea rossa e le linee blu.

In analisi matematica e programmazione matematica, il metodo dei moltiplicatori di Lagrange permette di ottenere i punti stazionari di una funzione ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ in ${\displaystyle I}$ variabili e ${\displaystyle J}$ vincoli di frontiera ${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$, detta obiettivo, tramite una terza funzione in ${\displaystyle I+J}$ variabili non vincolata, detta lagrangiana:

${\displaystyle \Lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {\lambda } )=f(\mathbf {x} )+\mathbf {\lambda } \cdot \,\mathbf {g} (\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )+\sum _{j=1}^{J}\lambda _{j}g_{j}(\mathbf {x} )}$,

introducendo tante nuove variabili scalari ${\displaystyle \lambda _{j}}$, dette moltiplicatori, quanti sono i vincoli.

Se ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ è stazionario, per esempio un massimo, per il problema vincolato originario, allora esiste un ${\displaystyle \mathbf {\lambda } ^{*}}$ tale che ${\displaystyle (\mathbf {x} ^{*},\mathbf {\lambda } ^{*})}$ è stazionario anche se non necessariamente dello stesso tipo, cioè nell'esempio un massimo, per la lagrangiana. Non tutti i punti stazionari portano a una soluzione del problema originario. Quindi il metodo dei moltiplicatori di Lagrange fornisce una condizione necessaria, ma non sufficiente per l'ottimizzazione nei problemi vincolati.^[1]