Numero p-adico

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Il sistema dei numeri ${\displaystyle p}$-adici è stato descritto per la prima volta da Kurt Hensel nel 1897. Per ogni numero primo ${\displaystyle p}$, il sistema dei numeri ${\displaystyle p}$-adici estende l'aritmetica dei numeri razionali in modo differente rispetto all'estensione verso i numeri reali e complessi. L'uso principale di questo strumento viene fatto nella teoria dei numeri.

L'estensione è ottenuta da un'interpretazione alternativa del concetto di valore assoluto. Il motivo della creazione dei numeri ${\displaystyle p}$-adici era il tentativo di introdurre il concetto e le tecniche delle serie di potenze nel campo della teoria dei numeri. Attualmente il loro utilizzo va oltre, per esempio l'analisi dei ${\displaystyle p}$-adici rappresenta una forma alternativa di calcolo differenziale.

Più concretamente per un dato numero primo ${\displaystyle p}$, il campo ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ dei numeri ${\displaystyle p}$-adici è un'estensione dei numeri razionali. Se tutti i campi ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ vengono considerati collettivamente, arriviamo al principio locale-globale di Helmut Hasse, il quale a grandi linee afferma che certe equazioni possono essere risolte nell'insieme dei numeri razionali se e solo se possono essere risolte negli insiemi dei numeri reali e dei numeri ${\displaystyle p}$-adici per ogni ${\displaystyle p}$. Il campo ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ possiede una topologia indotta da una metrica, che è, a sua volta, indotta da una norma alternativa sui numeri razionali. Questa metrica è completa, nel senso che ogni serie di Cauchy converge.

Nel campo delle curve ellittiche, i numeri ${\displaystyle p}$-adici sono conosciuti come numeri ${\displaystyle \ell }$-adici, a causa dei lavori di Jean-Pierre Serre. Il numero primo ${\displaystyle p}$ è spesso riservato per l'aritmetica modulare di queste curve.