Teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel

In matematica, e in particolare in logica matematica, la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel comprende gli assiomi standard della teoria assiomatica degli insiemi su cui, insieme con l'assioma di scelta, si basa tutta la matematica ordinaria secondo formulazioni moderne. Sono indicati come assiomi Zermelo–Fraenkel della teoria degli insiemi o sistema di assiomi di Zermelo-Fraenkel, e abbreviati con ZF.

Gli assiomi sono il risultato del lavoro di Thoralf Skolem del 1922, basato su lavori precedenti di Abraham Fraenkel nello stesso anno, che si basa sul sistema assiomatico sviluppato da Ernst Zermelo nel 1908 (teoria degli insiemi di Zermelo).

Il sistema assiomatico è scritto mediante un linguaggio del primo ordine; ha un numero infinito di assiomi poiché viene usato uno schema di assiomi. Un sistema alternativo finito viene dato dagli assiomi di von Neumann-Bernays-Gödel, che aggiungono il concetto di una classe in aggiunta a quello di un insieme; esso è "equivalente" nel senso che qualsiasi teorema riguardo agli insiemi che può essere provato in un sistema può essere provato nell'altro.

Si indica con la sigla ZFC il sistema formale dato dagli assiomi di Zermelo - Fraenkel con l'aggiunta dell'assioma della scelta: data una famiglia non vuota di insiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento. La "C" nella sigla è l'iniziale di choice (scelta in inglese): per lo stesso motivo, l'assioma della scelta viene spesso abbreviato con le lettere AC (la "A" sta per "axiom").