Compacte ruimte

In de algemene topologie en de metrische topologie, deelgebieden binnen de wiskunde, is een compacte ruimte een abstracte wiskundige ruimte, waarin indien men, intuïtief gesproken, een oneindig aantal "stappen" in deze ruimte doet, men uiteindelijk willekeurig dicht bij enige ander punt in deze ruimte kan komen. Een gesloten- en begrensde deelverzameling (zoals een gesloten interval van een rechthoek) van een Euclidische ruimte is dus compact, omdat iemands stappen uiteindelijk wel gedwongen uitkomen in de buurt van een punt van de verzameling, een resultaat dat bekendstaat als de stelling van Bolzano-Weierstrass, terwijl de Euclidische ruimte zelf geen compacte ruimte is, dit omdat men oneindig veel gelijkmatige stappen in enige gegeven richting kan zetten zonder ooit heel dicht in de buurt te komen van enig ander punt van de ruimte.

Typische voorbeelden van compacte ruimten zijn, afgezien van de gesloten en begrensde deelverzamelingen van de Euclidische ruimte, ruimten die niet uit punten, maar uit functieruimten bestaan. De aanduiding 'compact' werd in 1906 door Maurice Fréchet in de wiskunde geïntroduceerd als een distillatie van dit concept. Compactheid in deze meer algemene zin speelt een uiterst belangrijke rol in de wiskundige analyse, omdat veel klassieke en belangrijke stellingen uit de 19e-eeuwse analyse, zoals de extreme waardestelling, eenvoudig naar deze situatie veralgemeend kunnen worden. Een typische toepassing wordt gegeven door de stelling van Arzelà-Ascoli en in het bijzonder de existentiestelling van Peano, waarin men in staat is om het bestaan van een functie met enige vereiste eigenschappen te concluderen als een limietgeval van enige meer algemene constructie.

Verschillende gelijkwaardige noties van compactheid zoals sequentiële en limietpunt compactheid, kunnen in de algemene metrische ruimten worden ontwikkeld. In het algemeen zijn in topologische ruimten de verschillende noties van compactheid echter niet noodzakelijkerwijs gelijkwaardig, en de meest bruikbare notie, in 1929 geïntroduceerd door Pavel Aleksandrov en Pavel Urysohn, involveert het bestaan van zekere eindige families van open verzamelingen, die de ruimte in die zin "afdekken" dat elk punt van die ruimte in enige verzameling moet liggen die deel uitmaakt van deze familie. Deze meer subtiele definitie laat compacte ruimten zien als veralgemeningen van eindige verzamelingen. In ruimten, die in deze laatste zin compact zijn, is het vaak mogelijk om informatie samen te voegen, die lokaal van toepassing is. Dat is in een omgeving van elk punt, in corresponderende beweringen die van toepassing zijn door de gehele ruimte, en vele stellingen zijn van deze aard.