Niet-euclidische meetkunde

Niet-euclidische meetkunde is meetkunde waarbij het vijfde postulaat van Euclides, het parallellenpostulaat, niet wordt aangenomen.

Euclides ging bij zijn meetkunde uit van een aantal postulaten. Deze postulaten worden ook van axioma's genoemd. De meeste daarvan zijn eenvoudig, maar het vijfde vormt een uitzondering. Het postulaat heeft diverse vormen, maar de bekendste is waarschijnlijk

Gegeven een lijn ${\displaystyle l}$ en een punt ${\displaystyle P}$ dat niet op ${\displaystyle l}$ ligt, dan is er in het vlak door ${\displaystyle l}$ en ${\displaystyle P}$ maar één lijn door ${\displaystyle P}$ die ${\displaystyle l}$ niet snijdt.

Euclides' oorspronkelijke vorm was gecompliceerder.

Er zijn twee typen niet-euclidische meetkunde:

• In hyperbolische meetkunde gaan er door ${\displaystyle P}$ oneindig veel lijnen die ${\displaystyle l}$ niet snijden.
• In elliptische meetkunde gaat er door ${\displaystyle P}$ geen lijn die ${\displaystyle l}$ niet snijdt: alle lijnen snijden elkaar.

Er wordt alleen in de euclidische meetkunde aan het parallellenpostulaat voldaan. Het is voor de elliptische meetkunde nodig ook andere postulaten van Euclides aan te passen.

Men heeft lange tijd geprobeerd het parallellenpostulaat uit de andere axioma's te bewijzen, maar achteraf bleken alle bewijzen fout, doordat er ergens toch een 'evident' feit was gebruikt dat niet uit de andere axioma's volgde, dus equivalent was aan het parallellenpostulaat.