Riemann-meetkunde

De riemann-meetkunde, ook wel riemannse meetkunde genoemd, is het deelgebied van de differentiaalmeetkunde dat de riemann-variëteiten bestudeert. Dit zijn gladde variëteiten met een riemann-metriek, dat wil zeggen met een inwendig product op de raakruimte in elk punt, dat glad van punt naar punt varieert. Dit inwendig product induceert in het bijzonder lokale begrippen van hoeken, lengte van krommen, oppervlakte en volume. Met behulp van deze begrippen kunnen sommige andere globale grootheden worden afgeleid door integratie van lokale bijdragen.

In zijn oratie, Über die hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Over de hypothesen waarop de meetkunde is gebaseerd) legde Riemann de basis voor de riemann-meetkunde. Het is een zeer brede en abstracte generalisatie van de differentiaalmeetkunde van oppervlakken in de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. De ontwikkeling van de riemann-meetkunde resulteerde in de synthese van uiteenlopende resultaten met betrekking tot de meetkunde van oppervlakken en het gedrag van geodeten hierop, waarbij gebruik wordt gemaakt van technieken die kunnen worden toegepast op de studie van differentieerbare variëteiten van hogere dimensies. De riemann-meetkunde stelde Einstein in staat zijn algemene relativiteitstheorie op te stellen, had grote invloed op de groepentheorie en de representatietheorie, evenals op de analyse, en spoorde aan tot de ontwikkeling van zowel de algebraïsche als de differentiaaltopologie.