Theorema van Bayes

Het theorema van Bayes (ook regel van Bayes of stelling van Bayes) is een regel uit de kansrekening die de kans dat een bepaalde mogelijkheid ten grondslag ligt aan een gebeurtenis uitdrukt in de voorwaardelijke kansen op de gebeurtenis bij elk van de mogelijkheden. Het theorema is weliswaar genoemd naar Thomas Bayes, maar vrijwel zeker niet door hem geformuleerd^[bron?], maar door Pierre-Simon Laplace, die vrij zeker inspiratie opdeed bij een postuum gepubliceerd artikel van Bayes uit 1763.^[bron?] Het theorema komt voor in de Théorie analytique des probabilités van Laplace uit 1812. Het theorema wordt ook wel omkeerformule genoemd, omdat het de "omgekeerde" voorwaardelijke kans berekent. In formulevorm ziet het theorema er als volgt uit:

${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|A^{c})P(A^{c})}}}$

De gebeurtenis ${\displaystyle B}$ kan plaatsvinden onder de omstandigheid dat ${\displaystyle A}$ optreedt, maar ook als ${\displaystyle A}$ niet optreedt (A^c). Uitgaande van de voorwaardelijke kansen op ${\displaystyle B}$ gegeven de mogelijkheden wel ${\displaystyle A}$ en niet ${\displaystyle A,}$ wordt de kans bepaald dat, uitgaande van de situatie dat ${\displaystyle B}$ daadwerkelijk gebeurd is, het de omstandigheid ${\displaystyle A}$ was waaronder ${\displaystyle B}$ is opgetreden.

De formule is een directe toepassing van de definitie van voorwaardelijke kans

${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}}$

en de wet van de totale kans die in dit geval luidt:

${\displaystyle P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A^{c})P(A^{c})}$