Wetten van De Morgan

De wetten van De Morgan, of regels van De Morgan, zijn twee wetten in de wiskundige logica die een verband leggen tussen de logische conjunctie, de disjunctie en de negatie. Deze relatie wordt ook de dualiteit van De Morgan genoemd. Zij zijn naar de Britse wiskundige Augustus De Morgan genoemd, maar waren al eerder bekend.

Voor twee proposities ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ luiden de wetten:

niet (${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$) = (niet ${\displaystyle A}$) of (niet ${\displaystyle B}$)

niet (${\displaystyle A}$ of ${\displaystyle B}$) = (niet ${\displaystyle A}$) en (niet ${\displaystyle B}$)

In symbolen, waarbij de conjunctie 'en' door een · wordt weergegeven, de disjunctie 'of' door een + en de negatie 'niet' door een overstreping, wordt dat:

${\displaystyle {\overline {A\cdot B}}={\overline {A}}+{\overline {B}}}$

${\displaystyle {\overline {A+B}}={\overline {A}}\cdot {\overline {B}}}$

De wetten kunnen worden gegeneraliseerd voor meer dan twee proposities:

${\displaystyle {\overline {\prod _{i=1}^{n}P_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\overline {P_{i}}}}$ ofwel: ${\displaystyle {\overline {P_{1}\cdot P_{2}\cdot \ldots \cdot P_{n}}}={\overline {P_{1}}}+{\overline {P_{2}}}+\ldots +{\overline {P_{n}}}}$

${\displaystyle {\overline {\sum _{i=1}^{n}P_{i}}}=\prod _{i=1}^{n}{\overline {P_{i}}}}$ ofwel: ${\displaystyle {\overline {P_{1}+P_{2}+\ldots +P_{n}}}={\overline {P_{1}}}\cdot {\overline {P_{2}}}\cdot \ldots \cdot {\overline {P_{n}}}}$