Element odwrotny

Element odwrotny jest uogólnieniem pojęcia odwrotności liczby.

Niech ${\displaystyle \diamondsuit }$ oznacza działanie dwuargumentowe w zbiorze ${\displaystyle S.}$ Element ${\displaystyle x}$ nazywa się elementem odwrotnym do ${\displaystyle y}$ jeżeli spełnione są dwa warunki^[1][2]:

1. ${\displaystyle x\;\diamondsuit \;y=e,}$
2. ${\displaystyle y\;\diamondsuit \;x=e,}$

gdzie ${\displaystyle e}$ oznacza element neutralny działania ${\displaystyle \diamondsuit .}$

Jeżeli działanie ${\displaystyle \diamondsuit }$ zapisywane jest za pomocą symboli ${\displaystyle +,\;\oplus ,\;\cup ,\;\lor ,}$ itp. w celu zaznaczenia jego addytywności, to element odwrotny nazywamy przeciwnym i używamy oznaczenia ${\displaystyle -x.}$ Nazwa odwrotny używana jest w przypadku notacji multiplikatywnej, tj. gdy działanie oznaczamy symbolem zarezerwowanym dla mnożenia: ${\displaystyle *,\;\cdot ,\;\otimes ,\;\cap ,\;\land ,\;\star ,}$ itp. i oznaczamy ${\displaystyle x^{-1}}$