Funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna, homografia^[1] – różnie definiowany typ funkcji wymiernej:

• w sensie szerokim jest to każdy iloraz funkcji liniowych niebędący stałą:

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$

gdzie współczynniki ${\displaystyle a,b,c,d}$ spełniają warunek ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$^[2][3];

• w sensie wąskim są to ilorazy funkcji liniowych niebędące funkcjami liniowymi – zdarza się dodatkowy warunek ${\displaystyle c\neq 0}$^[4][5][6].

Powyższy wzór jest znany jako postać ogólna homografii, a oprócz niej istnieje także postać kanoniczna^[6]:

${\displaystyle f(z)={\frac {r}{z-p}}+q,\ r\neq 0.}$

Dziedziną homografii może być podzbiór:

• liczb rzeczywistych^[6]: ${\displaystyle f:\mathbb {R} \backslash \{-{\frac {d}{c}}\}\to \mathbb {R} ,\ a,b,c,d\in \mathbb {R} ;}$
• liczb zespolonych^[1]: ${\displaystyle f:\mathbb {C} \backslash \{-{\frac {d}{c}}\}\to \mathbb {C} ,\ a,b,c,d\in \mathbb {C} ;}$
• dowolnego ciała ${\displaystyle K,}$ gdzie ${\displaystyle f:K\backslash \{-{\frac {d}{c}}\}\to K,}$ gdzie ${\displaystyle a,b,c,d\in K.}$

Dla ustalonej dziedziny zbiór wszystkich homografii rozumiany szeroko tworzy grupę przekształceń^[1]. W dziedzinie zespolonej homografie należą do przekształceń konforemnych^[1].

Funkcji tego typu używa się m.in. w kartografii i fizyce, np. mechanice płynów^[1].